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费马 4n+1 定理

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费马 4n+1 定理，有时称为费马平方和定理或简称为“费马定理”，指出素数 素数 p 可以以基本唯一的方式（直到 加数 的顺序）表示为 x^2+y^2 的形式，其中 整数 x 和 y 当且仅当 p=1 (mod 4) 或 p=2 （这是 x=y=1 的退化情况）。该定理由费马提出，但第一个发表的证明是由欧拉给出的。

前几个模 4 余 1 或 2 的素数 p 是 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, ... (OEIS A002313)（其中唯一模 4 余 2 的素数是 2）。使得 x^2+y^2 等于这些素数的数对 (x,y) 是 (1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 4), (2, 5), (1, 6), ... (OEIS A002331 和 A002330)。

该定理可以重新表述为令

Q(x,y)=x^2+y^2,

那么所有 互素 解 (x,y) 到表示 Q(x,y)=m 对于任何 m 整数 的问题，都可以通过连续应用 亏格定理 和 组合定理 来实现。

另请参阅

Choquet 理论, 丢番图方程--二次幂, Eisenstein 整数, 欧拉 6n+1 定理, 费马小定理, 谢尔宾斯基素数序列定理, 平方数

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参考文献

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 146-147 and 220-223, 1996.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 13 and 219, 1979.Séroul, R. "Prime Number and Sum of Two Squares." §2.11 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 18-19, 2000.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 142-143, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A002313/M1430, A002330/M000462, and A002331/M0096 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

费马 4n+1 定理

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "费马 4n+1 定理。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Fermats4nPlus1Theorem.html

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