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卡塔兰猜想

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比利时数学家欧仁·查尔斯·卡塔兰于 1844 年提出的猜想，即 8 和 9 （2^3 和 3^2）是仅有的连续幂（不包括 0 和 1）。换句话说，

3^2-2^3=1
(1)

是 卡塔兰丢番图问题 的唯一非平凡解

x^p-y^q=+/-1.
(2)

特殊情况 p=3 和 q=2 是 n=+/-1 的 莫德尔曲线 情况。

有趣的是，在卡塔兰提出猜想的 500 多年前，列维·本·格森 (Levi ben Gerson) (1288-1344) 就已经注意到，显然只相差 1 的 2 和 3 的幂是 3^2 和 2^3 (Peterson 2000)。

这个猜想在 150 多年的时间里一直未能被证明，尽管 Hyyrő 和 Makowski 证明不存在三个连续的幂 (Ribenboim 1996)，并且也已知 8 和 9 是仅有的连续立方数和平方数（无论顺序如何）。最终，在 2002 年 4 月 18 日，Mihăilescu 向几位数学家发送了一份手稿，证明了整个猜想 (van der Poorten 2002)。该证明现已印刷出版 (Mihăilescu 2004)，并被广泛接受为正确有效 (Daems 2003, Metsänkylä 2003)。

Tijdeman (1976) 表明，如果猜想不成立，则可能只有有限数量的例外。最近的进展表明，这个问题在有限（但比天文数字还大）的步骤中是可判定的，并且特别地，如果 n 和 n+1 是 幂，则 n<expexpexpexp730 (Guy 1994, p. 155)。 1999 年，M. Mignotte 表明，如果存在非平凡解，则 p<7.15×10^(11), q<7.78×10^(16) (Peterson 2000)。

人们还知道，如果方程存在其他解，则要么指数 (p,q) 必须是 双维费里奇素数对，要么 p 和 q 必须满足类数可除性条件 (Steiner 1998)。对这个类数条件的约束不断改进，从 Inkeri (1964) 开始，一直到 Steiner (1998) 的工作。然后，在 1999 年春天，Bugeaud 和 Hanrot 证明了最弱的类数条件无条件成立（即，无论 p 和 q 是否为 双维费里奇素数对）。随后，在 2000 年秋季，Mihailescu 证明 双维费里奇素数对 条件也必须无条件成立 (Peterson 2000)。

推广到相差一个单位的高斯整数由下式给出

(78+78i)^2-(-23i)^3=i.
(3)

参见

卡塔兰丢番图问题, 双维费里奇素数对, 费马-卡塔兰猜想, 费马三明治定理, 莫德尔曲线, 幂方程

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参考文献

Bilu, Y. F. "Catalan's Conjecture (After Mihăilescu)." Astérisque, No. 294, 1-26, 2004.Bilu, Y. F. "Catalan Without Logarithmic Forms (after Bugeaud, Hanrot and Mihăilescu)." J. Théor. Nombres Bordeaux 17, 69-85, 2005.Catalan, E. "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur." J. reine angew. Math. 27, 192, 1844.Daems, J. "A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture." Sept. 29, 2003. http://www.math.leidenuniv.nl/~jdaems/scriptie/Catalan.pdf.Guy, R. K. "Difference of Two Power." §D9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 155-157, 1994.Inkeri, K. "On Catalan's Problem." Acta Arith. 9, 285-290, 1964.Metsänkylä, T. "Catalan's Conjecture: Another Old Diophantine Problem Solved." Bull. Amer. Math. Soc. 41, 43-57, 2003.Mihăilescu, P. "A Class Number Free Criterion for Catalan's Conjecture." J. Number Th. 99, 225-231, 2003.Mihăilescu, P. "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572, 167-195, 2004.Peterson, I. "MathTrek: Zeroing In on Catalan's Conjecture." Dec. 4, 2000. http://www.sciencenews.org/20001202/mathtrek.asp.Ribenboim, P. "Consecutive Powers." Expositiones Mathematicae 2, 193-221, 1984.Ribenboim, P. Catalan's Conjecture: Are 8 and 9 the only Consecutive Powers? Boston, MA: Academic Press, 1994.Ribenboim, P. "Catalan's Conjecture." Amer. Math. Monthly 103, 529-538, 1996.Steiner, R. "Class Number Bounds and Catalan's Equation." Math. Comput. 67, 1317-1322, 1998.Tijdeman, R. "On the Equation of Catalan." Acta Arith. 29, 197-209, 1976.van der Poorten, A. "Concerning: Catalan's Conjecture Proved?." 5 May 2002. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0205&L=nmbrthry&P=269.Weisstein, E. W. "Draft Proof of Catalan's Conjecture Circulated." MathWorld Headline News, May 5, 2002. https://mathworld.net.cn/news/2002-05-05/catalan/.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 71 and 73, 1986.

请引用为

Weisstein, Eric W. "卡塔兰猜想。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CatalansConjecture.html

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