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四面体数

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TetrahedralNumber

一种 形象数 Te_n 形式为

Te_n=sum_(k=1)^(n)T_k
(1)
=1/6n(n+1)(n+2)
(2)
=(n+2; 3),
(3)

其中 T_k 是第 k 个 三角形数，而 (n; m) 是一个 二项式系数。 这些数字对应于在四面体（三角形底面锥体）的结构中放置离散点。四面体数是 棱锥数，其中 r=3，并且是连续 三角形数 的总和。 前几个是 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ... (OEIS A000292)。 四面体数的 生成函数 是

x/((x-1)^4)=x+4x^2+10x^3+20x^4+....
(4)

除了每第四个四面体数是 奇数 外，四面体数都是 偶数 (Conway and Guy 1996)。

唯一同时是 平方数 和四面体数的数字是 Te_1=1, Te_2=4, 和 Te_(48)=19600 (给出 S_1=1, S_2=4, 和 S_(140)=19600), 正如 Meyl (1878; 引用自 Dickson 2005, p. 25) 所证明的那样。

同时是 三角形数 和四面体数的数字满足 二项式系数 方程

T_n=(n+1; 2)=(m+2; 3)=Te_m,
(5)

其唯一的解是

Te_1=T_1=1
(6)
Te_3=T_4=10
(7)
Te_8=T_(15)=120
(8)
Te_(20)=T_(55)=1540
(9)
Te_(34)=T_(119)=7140
(10)

(OEIS A027568; Avanesov 1966/1967; Mordell 1969, p. 258; Guy 1994, p. 147)。

Beukers (1988) 研究了通过 整数 点在 椭圆曲线 上寻找同时是四面体数和 棱锥数 的问题，并发现唯一的解是平凡解 Te_1=P_1=1。

将 n=1, 2, ... 表示为若干个四面体数之和所需的最少四面体数个数由 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, ... (OEIS A104246) 给出。 Pollock 猜想 指出，每个数字都是最多五个四面体数的和。 不能表示为 <=4 个四面体数之和的数字由序列 17, 27, 33, 52, 73, ..., (OEIS A000797) 给出，该序列包含 241 项，其中 343867 几乎可以肯定是最后一个这样的数字。

另请参阅

Pollock 猜想, 棱锥数, 方锥数, 三角形数, 截角四面体数

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参考文献

Avanesov, E. T. "关于形象数问题的一个解" [俄文]. Acta Arith. 12, 409-420, 1966/1967.Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. 数学娱乐与散文，第13版。 New York: Dover, p. 59, 1987.Beukers, F. "关于橙子和某些平面三次曲线上的整数点." Nieuw Arch. Wisk. 6, 203-210, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. 数字之书。 New York: Springer-Verlag, pp. 44-46, 1996.Dickson, L. E. 数论史，卷 2：丢番图分析。 New York: Dover, 2005.Guy, R. K. "形象数." §D3 in 数论中未解决的问题，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 147-150, 1994.Meyl, A.-J.-J. "问题 1194 的解." Nouv. Ann. Math. 17, 464-467, 1878.Mordell, L. J. 丢番图方程。 New York: Academic Press, p. 258, 1969.Skiena, S. S. 算法设计手册。 New York: Springer-Verlag, pp. 43-45, 1997.Sloane, N. J. A. 序列 A000292/M3382, A000797/M5033, A027568, 和 A104246 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

四面体数

引用为

Weisstein, Eric W. “四面体数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TetrahedralNumber.html

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