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平方和函数

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数字 n 表示为 k 个平方和的方法数，允许零并区分符号和顺序，表示为 r_k(n)。 特殊情况 k=2 对应于两个平方和，通常简称为 r_2(n)=r(n) (例如，Hardy 和 Wright 1979, p. 241; Shanks 1993, p. 162)。

例如，考虑将 5 表示为两个平方和的方法数

5=(-2)^2+(-1)^2
(1)
=(-2)^2+1^2
(2)
=2^2+(-1)^2
(3)
=2^2+1^2
(4)
=(-1)^2+(-2)^2
(5)
=(-1)^2+2^2
(6)
=1^2+(-2)^2
(7)
=1^2+2^2
(8)

所以 r_2(5)=8。 类似地，

4=(-2)^2+0^2+0^2
(9)
=0^2+(-2)^2+0^2
(10)
=0^2+0^2+(-2)^2
(11)
=0^2+0^2+2^2
(12)
=0^2+2^2+0^2
(13)
=2^2+0^2+0^2,
(14)

所以 r_3(4)=6。

Wolfram 语言 函数SquaresR[k, n] 给出 r_k(n)。 相比之下，函数PowersRepresentations[n, k, 2] 给出 n 表示为 k 个平方和的无序无符号列表，例如，给出 5=1^2+2^2 作为 5 的唯一“独特”表示。

函数 r_2(n) 与 莱布尼茨级数 和 高斯圆问题 密切相关 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 27-39)。 它也由序列 b_(2n)=0 和 b_(2n+1)=4(-1)^n 的逆莫比乌斯变换给出 (Sloane 和 Plouffe 1995, p. 22)。 r_2(n) 的平均阶数为 pi，但正常阶数为 0 (Hardy 1999, p. 55)。

雅可比给出了 r_k(n) 在 k=2、4、6 和 8 情况下的解析表达式 (Jacobi 1829; Hardy 和 Wright 1979, p. 316; Hardy 1999, p. 132)。 k=2、4 和 6 的情况是通过等同 系数 雅可比 theta 函数 theta_3(x), theta_3^2(x), 和 theta_3^4(x) 找到的。 k=10 和 12 的解由 Liouville (1864, 1866) 和 Eisenstein (Hardy 和 Wright 1979, p. 316) 找到，Glaisher (1907) 给出了至多 r_(2s)(n) 在 2s=18 情况下的表格。 然而，2s=14 和 2s=16 的公式包含仅定义为模函数系数的函数，而不是算术定义的函数 (Hardy 和 Wright 1979, p. 316)。 Ramanujan (2000) 将 Glaisher 的表格扩展到 k=24。 Boulyguine (1915) 找到了 r_(2s)(n) 的通用公式，其中每个函数都有算术定义 (Hardy 和 Wright 1979, p. 316; Dickson 2005, p. 317)。

r_3(n) 由狄利克雷发现，以涉及二次互反律符号的有限和的形式给出。 r_5(n) 和 r_7(n) 由 Eisenstein、Smith 和 Minkowski 发现。 Mordell、Hardy 和 Ramanujan 开发了一种适用于奇数个平方和表示的方法 (Hardy 1920; Mordell 1920, 1923; Estermann 1937; Hardy 1999)。

要查找正整数 n>1 可以表示为 k=2 个平方和的多少种方式忽略顺序和符号，将其分解为

n=2^(a_0)p_1^(2a_1)...p_r^(2a_r)q_1^(b_1)...q_s^(b_s),
(15)

其中 p_i 是 形如 4k+3 的素数，q_i 是 形如 4k+1 的素数。 如果 n 没有整数 a_i 这样的表示，因为一个或多个 p_i 的幂是奇数，则没有表示。 否则，定义

B=(b_1+1)(b_2+1)...(b_r+1).
(16)

那么，忽略顺序和符号，将 n 表示为两个平方和的方法数由下式给出

r_2^'(n)={0 if any a_i is a half-integer; 1/2B if all a_i are integers and B is even; 1/2(B-(-1)^(a_0)) if all a_i are integers and B is odd
(17)

(Beiler 1966, pp. 140-142)。

类似地，r_2(n) 对于 n>1 由下式给出

r_2(n)={0 if any a_i is a half-integer; 4B if all a_i are integers.
(18)

一个 正整数 可以表示为两个平方和，当且仅当 其每个 形如 4k+3 的 素因子 以偶数次幂出现时，正如欧拉在 1738 年首次确立的那样。 在 拉格朗日四平方定理 中，拉格朗日证明了每个 正整数 都可以写成最多四个 平方数 的 和，尽管对于 形如 4^n(8k+7) 的数字，四个可以减少到三个。

丢番图首先研究了一个等同于寻找三个平方和为 3a+1 的问题，并指出对于这个问题，a 不得为 8n+2 的形式，但这只是一个不充分的条件 (Dickson 2005, p. 259)。 1621 年，Bachet 随后排除了 8n+2 和 32n+9。 最后，费马 (ca. 1636) 指出 Bachet 的条件未能排除 a=37、149 等，并给出了正确的充分条件，即 a 不得为 ((24k+7)4^n-1)/3 的形式，因此 3a+1 不得为 (24k+7)4^n 的形式，或等效地 (8m+7)4^n。

1636 年，费马指出，没有 形如 8k+7 的整数是三个有理数平方和，1638 年，笛卡尔证明了对于整数平方和的情况。 1658 年，费马随后断言（但未证明）2p，其中 p 是任意形如 8n-1 的素数（即，任何形如 8n+7 的素数）是三个平方和。 1775 年，拉格朗日对费马的断言取得了一些进展，但未能完全证明。 1785 年，勒让德指出费马的断言对于所有奇数（不仅仅是素数）都成立，然后给出了一个不完整的证明，即每个数或其两倍都是三个平方和。

Beguelin (1774) 曾得出结论，每个与 1、2、3、5 或 6 (mod 8) 同余的整数都是三个平方和，但没有充分的证明 (Dickson 2005, p. 15)。 然后，在勒让德 1798 年的数论中，勒让德证明了每个不是 8n+7 或 4n 形式的正整数都是没有公因子的三个平方和 (Nagell 1951, p. 194; Wells 1986, pp. 48 and 56; Hardy 1999, p. 12; Savin 2000)。

当 r_2(n) 具有 形如 4k+3 的 素数 因子的 奇数 幂时，r_2(n) 为 0； 当达到新的 形如 4k+1 的 素数 时，它会翻倍。 前几个值是 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, ... (OEIS A004018)。 Lambert 级数 由下式给出

sum_(n=1)^inftyr_2(n)x^n=4sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1)x^(2n+1))/(1-x^(2n+1))
(19)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 258)。 r_2(n) 的 生成函数 由下式给出

sum_(n=0)^(infty)r_2(n)x^n=((q^2)_infty^(10))/((q)_infty^4(q^4)_infty^4)
(20)
=theta_3^2(x)
(21)
=1+4x+4x^2+4x^4+8x^5+4x^8+4x^9
(22)

其中 theta_3(q) 是 雅可比椭圆函数，(q)_infty 是 q-Pochhammer 符号。

它由下式显式给出

r_2(n)=4sum_(d=1,3,...|n)(-1)^((d-1)/2)
(23)
=4[d_1(n)-d_3(n)]
(24)
=4sum_(d|n)sin(1/2pid),
(25)

其中 d_k(n) 是 n 的 形如 4m+k 的 约数 的数量 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 37-38; Hardy 1999, p. 12)。

r_2(n) 服从以下出乎意料的恒等式

sum_(n=0)^infty(r_2(n))/(sqrt(n+a))e^(-2pisqrt((n+a)b))=sum_(n=0)^infty(r_2(n))/(sqrt(n-b))e^(-2pisqrt((n+b)a))
(26)

对于 R[sqrt(a)],R[sqrt(b)]>0,

sum_(0<=n<=x)(r_2(n))/(sqrt(x-n))=2pisqrt(x)+sum_(n=1)^infty(r_2(n))/(sqrt(n))sin(2pisqrt(nx))
(27)

和

sum_(0<=n<=x)r_2(n)=pix+sqrt(x)sum_(n=1)^infty(r_2(n))/(sqrt(n))J_1(2pisqrt(nx))
(28)

(Hardy 1999, p. 82)。

由下式定义的求和函数的前几个值（例如，Hardy 和 Wright 1979, p. 270）

R(N)=sum_(n=1)^Nr_2(n)
(29)

是 0, 4, 8, 8, 12, 20, 20, 20, 24, 28, 36, ... (OEIS A014198)，其中 Shanks (1993) 定义的修改函数是

R^*(N)=sum_(n=0)^(N)r_2(n)
(30)
=1+R(n)
(31)

下表给出了 R^*(n) 对于 10 的几个幂的显式值（Mitchell 1966; Shanks 1993, pp. 165 和 234）。

nR^*(10^n)
05
137
2317
33149
431417
5314197
63141549
8314159053
1031415925457
123141592649625
1431415926535058
r2

渐近结果包括

sum_(k=1)^(n)r_2(k)=pin+O(sqrt(n))
(32)
sum_(k=1)^(n)(r_2(k))/k=K+pilnn+O(n^(-1/2)),
(33)

其中 K 是一个称为 Sierpiński 常数 的常数。 上面的左图显示了

[sum_(k=1)^nr_2(k)]-pin,
(34)

带有曲线包络线的 +/-sqrt(n)，右图显示了

[sum_(k=1)^n(r_2(k))/k]-pilnn,
(35)

其中 K 的值以实心水平线表示。

方程的解数

x^2+y^2+z^2=n
(36)

对于给定的 n，在不对 x、y 和 z 的符号或相对大小进行限制的情况下，由 r_3(n) 给出。 高斯证明，如果 n 是 无平方数 且 n>4，则

r_3(n)={24h(-n) for n=3 (mod 8); 12h(-4n) for n=1,2,5,6 (mod 8); 0 for n=7 (mod 8)
(37)

(Arno 1992)，其中 h(x) 是 x 的 类数。

r_3(n) 的 生成函数 由下式给出

sum_(n=0)^(infty)r_3(n)x^n=theta_3^3(x)
(38)
=1+6x+12x^2+8x^3+6x^4+24x^5+24x^6+12x^8+30x^9+...,
(39)

并且一般而言，

sum_(n=0)^inftyr_k(n)x^n=theta_3^k(x).
(40)

对于 r_4(n)，

r_4(n)=8sum_(d|n,4d)d.
(41)

对于 r_6(n) 和 r_8(n) 的恒等式由下式给出

r_6(n)=16sum_(d|n)chi(d^')d^2-4sum_(d|n)chi(d)d^2
(42)
r_8(n)=16sum_(d|n)(-1)^(n+d)d^3,
(43)

其中 d^'=n/d 和

chi(d)={1 if d=4k+1; -1 if d=4k-1; 0 if d=2k
(44)

(Jacobi 1829, §40-42; Smith 1965; Hardy 和 Wright 1979, p. 314)。

对于 r_(10)(n)，

r_(10)(n)=4/5[E_4(n)+16E_4^'(n)+8chi_4(n)],
(45)

其中

E_4(n)=sum_(d=1,3,...|n)(-1)^((d-1)/2)d^4
(46)
E_4^'(n)=sum_(d^'=1,3,...|n)(-1)^((d^'-1)/2)d^4
(47)
chi_4(n)=1/4sum_(a^2+b^2=n)(a+bi)^4.
(48)

Liouville (1864, 1866) 给出了这个方程和 r_(12)(n) 的方程。

r_(16)(n)=-(32)/3(-1)^n[sigma_1^'(n)+sigma_3^'(n)+sigma_5^'(n)]+(-1)^n(256)/3sum_(k=1)^(n-1)[sigma_1^'(k)sigma_5^'(n-k)-sigma_3^'(k)sigma_3^'(n-k)]
(49)
r_(24)(n)=rho_(24)(n)+(128)/(691)[(-1)^(n-1)259tau(n)-512tau(1/2n)]
(50)
=(-1)^n(16)/9[17sigma_3^('')(n)+8sigma_5^('')(n)+2sigma_7^('')(n)]+(-1)^n(512)/9sum_(k=1)^(n-1)[sigma_3^('')(k)sigma_7^('')(n-k)-sigma_5^('')(k)sigma_5^('')(n-k)],
(51)

其中

sigma_r^'(n)=sum_(d|n)(-1)^(d+n/d)d^r
(52)
sigma_r^('')(n)=sum_(d|n)(-1)^dd^r,
(53)

rho_(24)(n) 是所谓的 奇异级数，tau(n) 是 tau 函数。

对于更大的 偶数 k，存在类似的表达式，但它们很快变得极其复杂，只能用模函数展开式简单地表示。

另请参阅

类数, 丢番图方程--二次幂, 费马多边形数定理, 高斯圆问题, Landau-Ramanujan 常数, 莱布尼茨级数, 素因子, 本原勾股数组, 勾股四元组, 勾股数组, Sierpiński 常数, Tau 函数

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参考文献

Arno, S. "The Imaginary Quadratic Fields of Class Number 4." Acta Arith. 60, 321-334, 1992.Beiler, A. H. 数论妙趣：数学女王的款待。 New York: Dover, 1966.Boulyguine, M. B. "Sur la représentation d'un nombre entier par une somme de carrés." Comptes Rendus Hebdomadaires de Séances de l'Académie des Sciences 161, 28-30, 1915.Dickson, L. E. 数论史，第 2 卷：丢番图分析。 New York: Dover, pp. 259 和 317, 2005.Eisenstein, G. "Note sur la représentation d'un nombre par la somme de cinq carrés." J. reine angew. Math. 35, 368-369, 1847.Eisenstein, G. "Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen 8n+3, 7n+2 und 7n+4." J. reine angew. Math. 37, 97-126, 1848.Estermann, T. "On the Representation of a Number as a Sum of Squares." Acta Arith. 2, 47-79, 1936. Reprinted in Prace mat.-fiz. 45, 93-125, 1937.Ewell, J. A. "New Representations of Ramanujan's Tau Function." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 723-726, 1999.Glaisher, J. W. L. "On the Numbers of a Representation of a Number as a Sum of 2r Squares, where 2r Does Not Exceed 18." Proc. London Math. Soc. 5, 479-490, 1907.Grosswald, E. 整数表示为平方和。 New York: Springer-Verlag, 1985.Hardy, G. H. "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares." Quart. J. Math. 46, 263-283, 1915.Hardy, G. H. "The Average Order of the Arithmetical Functions P(x) and Delta(x)." Proc. London Math. Soc. 15, 192-213, 1916.Hardy, G. H. "On the Representation of a Number as the Sum of Any Number of Squares, and Particular of Five." Trans. Amer. Math. Soc. 21, 255-284, 1920.Hardy, G. H. "The Representation of Numbers as Sums of Squares." Ch. 9 in 拉马努金：关于其生平和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "函数 r(n)," "公式 r(n) 的证明," "函数 r(n) 的生成函数," 和 "函数 r(n) 的阶数," 以及 "更多平方和的表示。" §16.9, 16.10, 17.9, 18.7, 和 20.13 in 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 241-243, 256-258, 270-271, 和 314-315, 1979.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. 几何与想象。 New York: Chelsea, 1999.Jacobi; C. G. J. Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg, Germany, 1829.Jones, G. A. and Jones, J. M. "Sum of Squares." Ch. 10 in 初等数论。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 191-215, 1998.Liouville, J. "Extrait d'une lettre adressée a M. Besge (关于奇数的两倍表示为 12 个平方和)." J. de math. pure et appl. 9, 296-298, 1864.Liouville, J. "Nombre des représentations d'un entier quelconque sous la forme d'une somme de dix carrés." J. de math. pure et appl. 11, 1-8, 1866.Milne, S. "Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions." Ramanujan J. 6, 7-149, 2002. Reprinted in Development in Mathematics 5. Boston, MA: Kluwer 2002.Minkowski, H. "Mémoire sur la théorie des formes quadratiques à coefficients entiers." Mémoirs présentés par divers savants à l'Academie des Sciences de l'Institut de France 29, 1-180, 1887.Mitchell, W. C. "The Number of Lattice Points in a k-Dimensional Hypersphere." Math. Comput. 20, 300-310, 1966.Mordell, L. J. "On the Representation of a Number as a Sum of 2^r Squares." Quart. J. Math. 48, 93-104, 1920.Mordell, L. J. "On the Representation of a Number as a Sum of an Odd Number of Squares." Trans. Cambridge Philos. Soc. 22, 361-372, 1923.Moreno, C. J. and Wagstaff, S. S. 整数平方和。 Chapman & Hall/CRC, 2005.Nagell, T. 数论导论。 New York: Wiley, 1951.Ramanujan, S. 斯里尼瓦萨·拉马努金论文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Savin, A. "Shape Numbers." Quantum 11, 14-18, 2000.Séroul, R. "Prime Number and Sum of Two Squares." §2.11 in 数学家编程。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 18-19, 2000.Shanks, D. 数论中已解决和未解决的问题，第 4 版。 New York: Chelsea, pp. 162-153, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A004018/M3218 and A014198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整数序列百科全书。 San Diego, CA: Academic Press, 1995.Smith, H. J. S. "Mémoire sur la représentation des nombres par des sommes de cinq carrés." Mémoirs présentés par divers savants à l'Academie des Sciences de l'Institut de France, Ser. 2 29, No. 1, 1-72, 1887.Smith, H. J. S. 数论报告。 New York: Chelsea, 1965.Uspensky, J. V. "On Jacobi's Arithmetical Theorems Concerning the Simultaneous Representation of Numbers by Two Different Quadratic Forms." Trans. Amer. Math. Soc. 30, 385-404, 1928.Wagon, S. "The Magic of Imaginary Factoring." Mathematica in Education and Res. 5, 43-47, 1996.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, 1986.

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平方和函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "平方和函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SumofSquaresFunction.html

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