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布罗卡尔问题

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布罗卡尔问题要求找到 n 的值，使得 n!+1 是一个平方数 m^2，其中 n! 是阶乘 (Brocard 1876, 1885)。唯一已知的解是 n=4、5 和 7。数对 (m,n) 被称为布朗数。1906 年，Gérardin 声称，如果 m>71，那么 m 必须至少有 20 位数字。Ramanujan 在不知道 Brocard 的问题的情况下，于 1913 年考虑了同样的问题。Gupta (1935) 指出，对高达 n=63 的 n! 的计算没有给出进一步的解。

几乎可以肯定没有更多的解 (Guy 1994)。事实上，Dabrowski (1996) 已经证明 n!+A=k^2 对于一般的 A 只有有限多个解，尽管如果 A 是平方数，这个结果需要假设 abc 猜想的弱形式。

没有其他解满足 n<=10^7 (Wells 1986, p. 70)，Berndt 和 Galway 进一步搜索到 n=10^9 也没有找到任何进一步的解。

Wilson 还计算了最小的 k 使得 n!+k^2 从 n=4 开始为平方数，给出 1, 1, 3, 1, 9, 27, 15, 18, 288, 288, 420, 464, 1856, ... (OEIS A038202)。

另请参阅

布朗数, 阶乘, 平方数

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参考文献

Berndt, B. C. 和 Galway, W. F. "关于布罗卡尔-拉马努金丢番图方程 n!+1=m^2." 已提交。 http://www.math.uiuc.edu/~galway/Submissions/Ramanujan469.ps 和 http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf.Brocard, H. 问题 166. Nouv. Corres. Math. 2, 287, 1876.Brocard, H. 问题 1532. Nouv. Ann. Math. 4, 391, 1885.Dabrowski, A. "关于丢番图方程 x!+A=y^2." Nieuw Arch. Wisk. 14, 321-324, 1996.Erdős, P. 和 Obláth, R. "关于 n!=x^p+/-y^p 和 n!+/-m!=x^p 形式的丢番图方程." Acta Szeged 8, 241-255, 1937.Gupta, H. "关于布罗卡尔-拉马努金问题." Math. Student 3, 71, 1935.Guy, R. K. "包含阶乘 n 的方程." §D25 in 数论中未解决的问题，第 2 版 纽约: Springer-Verlag, pp. 193-194, 1994.Ramanujan, S. 斯里尼瓦萨·拉马努金论文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, 和 B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.Overholt, M. "丢番图方程 n!+1=m^2." Bull. London Math. Soc. 25, 104, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A038202 in "整数序列在线百科全书."Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, pp. 57 和 70, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

布罗卡尔问题

引用为

Weisstein, Eric W. "布罗卡尔问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BrocardsProblem.html

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