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平方三角形数

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平方三角形数是同时为平方数和三角形数的正整数。设 T_n 表示第 n 个三角形数，S_m 表示第 m 个平方数，那么既是三角形数又是平方数的数满足方程 T_n=S_m，或者

1/2n(n+1)=m^2.
(1)

配方法给出

1/2(n^2+n)=1/2(n+1/2)^2-(1/2)(1/4)
(2)
=m^2
(3)
1/8(2n+1)^2-1/8=m^2
(4)
(2n+1)^2-8m^2=1.
(5)

因此，定义

x=2n+1
(6)
y=2m
(7)

得到 佩尔方程

x^2-2y^2=1
(8)

（Conway 和 Guy 1996）。前几个解是 (x,y)=(3,2)，(17, 12), (99, 70), (577, 408), .... 这些给出解 (n,m)=(1,1), (8, 6), (49, 35), (288, 204), ... (OEIS A001108 和 A001109)，对应于三角形平方数 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ... (OEIS A001110；Pietenpol 1962)。1730 年，欧拉证明了存在无数个这样的解 (Dickson 2005)。

平方三角形数 ST_n 的一般公式是 b^2c^2，其中 b/c 是 nth 收敛于 sqrt(2) 的连分数 (Ball 和 Coxeter 1987, p. 59; Conway 和 Guy 1996)。前几个是

1/1,3/2,7/5,(17)/(12),(41)/(29),(99)/(70),(239)/(169),...
(9)

(OEIS A001333 和 A000129)。分子和分母也可以通过将前一个分数加倍，然后加到之前的分数来获得。

平方三角形数的一般公式是

ST_n=[((1+sqrt(2))^(2n)-(1-sqrt(2))^(2n))/(4sqrt(2))]^2
(10)
=1/(32)[(17+12sqrt(2))^n+(17-12sqrt(2))^n-2].
(11)

平方三角形数也满足递推关系

ST_n=34ST_(n-1)-ST_(n-2)+2.
(12)

对于 ST_n=u_n^2 的二阶递推由下式给出

u_(n+2)=6u_(n+1)-u_n,
(13)

其中 u_0=0 且 u_1=1。一阶递推方程由下式给出

u_(n+1)=3u_n+sqrt(8u_n^2+1)
(14)

（M. Carreira，私人通讯，9 月 29 日，2003 年）。

对于 ST_n 的一个有趣的乘积公式由下式给出

ST_n=2^(2n-5)product_(k=1)^(2n)[3+cos((kpi)/n)].
(15)

一个惊人的生成函数是

f(x)=(x(x+1))/((1-x)(1-34x+x^2))=x+36x^2+1225x^3+...
(16)

（Sloane 和 Plouffe 1995）。

将平方数和三角形数放在一起得到序列 1, 1, 3, 4, 6, 9, 10, 15, 16, 21, 25, ... (OEIS A005214；Hofstadter 1996, p. 15)。

另请参阅

立方三角形数, 尼科马科斯定理, 五边形平方数, 五边形平方三角形数, 平方数, 平方根, 三角形数

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参考文献

Allen, B. M. "Squares as Triangular Numbers." Scripta Math. 20, 213-214, 1954.Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 1987.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 203-205, 1996.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 10, 16, and 27, 2005.Guy, R. K. "Sums of Squares" 和 "Figurate Numbers." §C20 和 §D3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 136-138 和 147-150, 1994.Hofstadter, D. R. Fluid Concepts & Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought. New York: Basic Books, 1996.Khatri, M. N. "Triangular Numbers Which are Also Squares." Math. Student 27, 55-56, 1959.Pietenpol, J. L. "Square Triangular Numbers." Problem E 1473. Amer. Math. Monthly 69, 168-169, 1962.Potter, D. C. D. "Triangular Square Numbers." Math. Gaz. 56, 109-110, 1972.Sengupta, D. "Digits in Triangular Squares." College Math. J. 30, 31, 1999.Sierpiński, W. Teoria Liczb, 3rd ed. Warsaw, Poland: Monografie Matematyczne t. 19, p. 517, 1950.Sierpiński, W. "Sur les nombres triangulaires carrés." Pub. Faculté d'Électrotechnique l'Université Belgrade, No. 65, 1-4, 1961.Sierpiński, W. "Sur les nombres triangulaires carrés." Bull. Soc. Royale Sciences Liège, 30 ann., 189-194, 1961.Silverman, J. H. A Friendly Introduction to Number Theory. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.Sloane, N. J. A. Sequences A000129/M1413, A001333/M2665, A001108/M4536, A001109/M4217, and A001110/M5259 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.Walker, G. W. "Triangular Squares." Problem E 954. Amer. Math. Monthly 58, 568, 1951.

在 Wolfram|Alpha 中引用

平方三角形数

请引用为

Weisstein, Eric W. “平方三角形数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SquareTriangularNumber.html

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