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八边形平方数

一个同时是 八边形数 和 平方数 的数。设 O_n 表示第 n 个 八边形数，S_m 表示第 m 个 平方数，那么一个既是八边形数又是平方数的数满足方程 O_n=S_m，或

n(3n-2)=m^2.
(1)

配方法 并重新排列得到

(3n-1)^2-3m^2=1.
(2)

因此，定义

x=(3n-1)
(3)
y=m
(4)

得到 佩尔方程

x^2-3y^2=1
(5)

最初的几个解是 (x,y)=(2,1), (7, 4), (26, 15), (97, 56), (362, 209), (1351, 780), .... 这些给出解 (n,m)=(1,1), (8/3, 4), (9, 15), (98/3, 56), (121, 209), ..., 其中整数解为 (1, 1), (9, 15), (121, 209), (1681, 2911), ... (OEIS A046184 和 A028230)，对应于八边形平方数 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, ... (OEIS A036428)。

另请参阅

八边形数, 平方数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. 具体数学：计算机科学的基础。 雷丁，马萨诸塞州：Addison-Wesley, p. 329, 1990.Konhauser, J. D. E.; Velleman, D.; 和 Wagon, S. 自行车往哪个方向去了？以及其他有趣的数学谜题。 华盛顿特区：美国数学协会, p. 104, 1996.Sloane, N. J. A. 序列 A028230, A036428, 和 A046184，出自“整数数列线上大全”。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

八边形平方数

请这样引用

Weisstein, Eric W. “八边形平方数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/OctagonalSquareNumber.html

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