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勒让德符号

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勒让德符号是一个数论函数 (a/p)，其定义为等于 +/-1，取决于 a 是否是模 p 的二次剩余。该定义有时被推广为当 p|a 时值为 0，

(a/p)=(a|p)={0 if p|a; 1 if a is a quadratic residue modulo p; -1 if a is a quadratic nonresidue modulo p.
(1)

如果 p 是一个奇素数，那么雅可比符号就简化为勒让德符号。勒让德符号在 Wolfram 语言 中通过雅可比符号实现，雅可比符号[a, p]。

勒让德符号服从恒等式

((ab)/p)=(a/p)(b/p).
(2)

特殊恒等式包括

((-1)/p)=(-1)^((p-1)/2)
(3)
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)
(4)
((-3)/p)={1 if p=1 (mod 6); -1 if p=5 (mod 6)
(5)
(5/p)={1 if p=1,9 (mod 10); -1 if p=3,7 (mod 10)
(6)

(Nagell 1951, p. 144)，以及一般的

(q/p)=(p/q)(-1)^([(p-1)/2][(q-1)/2])
(7)

当 p 和 q 都是奇素数时。

一般来说，

(a/p)=a^((p-1)/2) (mod p)
(8)

如果 p 是一个奇素数。

参见

雅可比符号, 克罗内克符号, 二次互反律, 二次剩余

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Guy, R. K. "Quadratic Residues. Schur's Conjecture." §F5 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 244-245, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Quadratic Residues." §6.5 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 67-68, 1979.Jones, G. A. and Jones, J. M. "The Legendre Symbol." §7.3 in Elementary Number Theory. Berlin: Springer-Verlag, pp. 123-129, 1998.Nagell, T. "Euler's Criterion and Legendre's Symbol." §38 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 133-136, 1951.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 33-34 and 40-42, 1993.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

勒让德符号

引用为

Weisstein, Eric W. "勒让德符号。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LegendreSymbol.html

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