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五边形平方数

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一个既是 五边形数 P_n 又是 平方数 S_m 的数。当以下条件成立时，这样的数存在

1/2n(3n-1)=m^2.
(1)

配方法 得到

1/2n(3n-1)=3/2(n^2-1/3n)=3/2(n-1/6)^2-3/(72)=m^2
(2)
3/2(6n-1)^2-3/2=36m^2
(3)
(6n-1)^2-24m^2=1.
(4)

代入 x=6n-1 和 y=2m 得到 佩尔方程

x^2-6y^2=1,
(5)

其解为 (x,y)=(5,2), (49, 20), (485, 198), .... 用 (n,m) 表示，这些解为 (1,1), (25/3, 10), (81, 99), (2401/3, 980), (7921, 9701), ..., 其中整数解为 (n,m)=(1,1), (81, 99), (7921, 9701), (776161, 950599), ... (OEIS A046172 和 A046173)，对应于五边形平方数 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, ... (OEIS A036353)。

另请参阅

五边形数, 五边形平方三角形数, 平方数

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参考文献

Silverman, J. H. 数论友好导论。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.Sloane, N. J. A. 序列 A036353, A046172, 和 A046173 在 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

五边形平方数

请引用为

Weisstein, Eric W. "五边形平方数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PentagonalSquareNumber.html

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