瓦林问题

在他的Meditationes algebraicae中，瓦林 (Waring) (1770, 1782) 提出了拉格朗日四平方定理的推广，指出每个有理整数都是一个固定数目个次幂的正整数之和，其中是任意给定的正整数，而仅取决于。瓦林最初推测 , , 和。1909 年，希尔伯特使用一个 25 重多重积分恒等式证明了这个一般猜想 (Rademacher and Toeplitz 1957, pp. 52-61)。

在拉格朗日四平方定理中，拉格朗日证明了 , 其中除了形如的数 (由勒让德证明；Hardy 1999, p. 12) 外，4 可以减少到 3。1909 年，维费里奇 (Wieferich) 证明了。1859 年，刘维尔 (Liouville) 证明了 (使用拉格朗日四平方定理和刘维尔多项式恒等式) 。哈代 (Hardy) 和李特尔伍德 (Littlewood) 确定了 , 巴拉苏布拉马尼安 (Balasubramanian) 等人 (1986) 随后将其减少到。对于的情况，1896 年，梅耶 (Maillet) 首先证明了 , 1909 年维费里奇证明了 , 陈 (Chen) (1964) 证明了。

1936 年，迪克森 (Dickson)、皮莱 (Pillai) 和尼文 (Niven) 也猜想了对于的显式公式 (Bell 1945, pp. 318 和 602)，基于以下关系

$(3/2)^n-|_(3/2)^n_|<=1-(1/2)^n{|_(3/2)^n+2_|}.$

(1)

如果丢番图 (即，被限制为整数) 不等式

$frac[(3/2)^n]<=1-(3/4)^n$

(2)

成立，其中 $frac(x)$ 是的小数部分，那么

(3)

莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 的儿子 J. A. 欧拉 (J. A. Euler) 给出了这个下界，并且已被验证对于 (Kubina 和 Wunderlich 1990, Stemmler 1990 的扩展) 是正确的。此外，马勒 (Mahler) (1957) 证明了最多只有有限个超过欧拉的下界。不幸的是，这个证明是非构造性的。

还有一个相关 (但更困难) 的问题是找到最小的整数，使得从某一点之后的所有正整数 (即，除了有限个) 都是个次幂的和。从 1920 年到 1928 年，哈代 (Hardy) 和李特尔伍德 (Littlewood) 表明

(4)

并猜想

(5)

海尔布朗 (Heilbronn) (1936) 改进了维诺格拉多夫 (Vinogradov) 的结果，得到

(6)

如果 , 那么

(7)

(卡拉楚巴 (Karatsuba) 1985)，对于大的 ,

(8)

对于任何正数 (伍利 (Wooley) 1992)。

长期以来人们都知道。德舒耶 (Deshouillers) 等人 (2000) 猜想 7373170279850 是不能表示为四个非负立方和的最大整数。

兰道 (Landau) (1909) 确定了 , 1939 年迪克森 (Dickson) 表明，唯一需要九个立方的整数是 23 和 239。维费里奇 (Wieferich) 证明只有 15 个整数需要八个立方：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 和 454，从而确定了 (Wells 1986, p. 70)。已知需要七个立方的最大数是 8042。西克塞克 (Siksek) (2015) 证明所有大于 454 的整数都是至多七个正立方的和。需要超过 7 个正立方的完整例外数集合是 15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 239, 303, 364, 420, 428 和 454 (OEIS A018888)，正如雅可比 (Jacobi) (1851) 所猜想的那样。

1933 年，哈代 (Hardy) 和李特尔伍德 (Littlewood) 表明 , 但 1936 年改进为 16 或 17，达文波特 (Davenport) (1939b) 证明精确值为 16。沃恩 (Vaughan) (1986) 极大地改进了哈代和李特尔伍德的方法，获得了的改进结果。布吕德恩 (Brüdern) (1990) 进一步改进了这些结果，他给出了 , 伍利 (Wooley) (1992) 给出了对于到 20 的值。沃恩和伍利 (1993ab) 表明。

令表示最小的数，使得几乎所有足够大的整数都是个次幂的和。那么 (达文波特 1939a), (哈代和李特尔伍德 1925), (沃恩 1986), 以及 (伍利 1992)。如果除了幂本身之外还允许使用幂的负数，则表示任意整数所需的次幂的最大数目分别表示为和 (赖特 (Wright) 1934, 亨特 (Hunter) 1941, 加德纳 (Gardner) 1986)。一般来说，这些值比和更难计算。

下表给出了 , , , , 和对于的值。的序列是 OEIS A002804。


2	4	4	3	3
3	9		[4, 5]
4	19	16	[9, 10]
5	37
6	73
7	143
8	279
9	548
10	1079
11	2132
12	4223
13	8384
14	16673
15	33203
16	66190
17	132055
18	263619
19	526502
20	1051899

另请参阅

欧拉猜想, 施尼雷尔曼常数, 施尼雷尔曼定理, 维诺格拉多夫定理

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参考文献

Archibald, R. G. "Waring's Problem: Squares." Scripta Math. 7, 33-48, 1940.Balasubramanian, R.; Deshouillers, J.-M.; and Dress, F. "Problème de Waring pour les bicarrés 1, 2." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303, 85-88 and 161-163, 1986.Bell, E. T. 数学的发展，第二版 New York: McGraw-Hill, 1945.Brüdern, J. "On Waring's Problem for Fifth Powers and Some Related Topics." Proc. London Math. Soc. 61, 457-479, 1990.Chen, J.-R. "Waring's Problem for

. Sci. Sinica 13, 1547-1568, 1964. Also appeared as Chinese Math Acta 6, 105-127, 1965.Davenport, H. "On Waring's Problem for Cubes." Acta Math. 71, 123-143, 1939a.Davenport, H. "On Waring's Problem for Fourth Powers." Ann. Math. 40, 731-747, 1939b.Deshouillers, J.-M.; Hennecart, F.; and Landreau, B. "7 373 170 279 850." Math. Comput. 69, 421-439, 2000.Dickson, L. E. "Waring's Problem and Related Results." Ch. 25 in 数论史，第二卷：丢番图分析。 New York: Dover, pp. 717-729, 2005.Gardner, M. "Waring's Problems." Ch. 18 in 扭结甜甜圈和其他数学娱乐。 New York: W. H. Freeman, pp. 222-231, 1986.Guy, R. K. "Sums of Squares." §C20 in 数论中未解决的问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 136-138, 1994.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他的生活和工作启发的十二次讲座，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of Partitio Numerorum (VI): Further Researches in Waring's Problem." Math. Z. 23, 1-37, 1925.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Representation of a Number by Two or Four Squares" and "Representation by Cubes and Higher Powers." Chs. 20-21 in 数论导论，第五版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 297-339, 1979.Heilbronn, H. "Über das waringsche Problem." Acta Arith. 1, 212-221, 1936.Hunter, W. "The Representation of Numbers by Sums of Fourth Powers." J. London Math. Soc. 16, 177-179, 1941.Jacobi, C. G. J. "Über die zusammensetzung der zahlen aus ganzen positiven cuben; nebst einer tabelle für die kleinste cubenanzahl, aus welcher jede zahl bis 12000 zusammengesetzt werden kann." J. reine angew. Math. 42, 322-354, 1851.Karatsuba, A. A. "The Function

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韦斯坦因，埃里克·W. "瓦林问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WaringsProblem.html

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