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四次曲线

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一般的平面四次曲线是如下形式的曲线

Ax^4+By^4+Cx^3y+Dx^2y^2+Exy^3+Fx^3+Gy^3+Hx^2y+Ixy^2+Jx^2+Ky^2+Lxy+Mx+Ny+O=0.
(1)

例子包括 & 曲线, 豆形曲线, 双角线, 双尖点曲线, 双叶线, 双纽线, 双切线丰富的曲线, 弓形线, 子弹头线, 蝴蝶曲线, 摩羯座曲线, 心脏线, 笛卡尔卵形线, 卡西尼卵形线, 尼科梅德斯蚌线, 十字曲线, 星形线, 魔鬼曲线, 丢勒蚌线, 8字曲线, 鱼形曲线, 马蹄螺线, 欧多克索斯弯曲线, 开普勒叶形线, 克莱因四次曲线, 纽结曲线, 双纽线, 蜗牛线, 链环曲线, 梨形曲线, 梨形曲线, 卍字曲线, 三叶结曲线, 和 三叶草线。

一般四次曲线的 28 条双切线的关联关系可以与七维空间中特定多胞形的顶点建立一一对应关系 (Coxeter 1928, Du Val 1933)。这一事实本质上类似于 Schoute (1910) 的发现，即三次曲面上的 27 条 所罗门封印线可以与六维空间中的多胞形相关联 (Du Val 1933)。属 4 的典型曲线的切触平面与八维多胞形之间存在类似但不太完整的关系 (Du Val 1933)。

非退化四次曲线的最大二重点数为三。

如下形式的四次曲线

y^2=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)(x-delta)
(2)

可以写成

[y/((x-alpha)^2)]^2 =(1-(beta-alpha)/(x-alpha))(1-(gamma-alpha)/(x-alpha))(1-(delta-alpha)/(x-alpha)),
(3)

因此在坐标中是三次的

X=1/(x-alpha)
(4)
Y=y/((x-alpha)^2)
(5)

(Cassels 1991)。这种变换是双有理变换。

Quartic

设 P 和 Q 为拐点，R 和 S 为直线 PQ 与上面图 (a) 中曲线的交点。则

A=C
(6)
B=2A.
(7)

在图 (b) 中，设 UV 为双切线，T 为曲线上 x 坐标是 x 坐标 U 和 V 平均值的点。则 UV∥PQ∥RS 并且

D=F
(8)
E=sqrt(2)D.
(9)

在图 (c) 中，P 处的切线与曲线在 W 处相交。则

G=8B.
(10)

最后，在图 (d) 中，P 和 Q 处的切线的交点为 W 和 X。则

H=27B
(11)

(Honsberger 1991)。

另请参阅

代数曲线, 三次曲线, 三次曲面, 梨形曲线, 二次曲线, 所罗门封印线

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参考文献

Cassels, J. W. S. 第 8 章，椭圆曲线讲义。 纽约：剑桥大学出版社，1991 年。Coxeter, H. S. M. "六维和七维空间中的纯阿基米德多胞形。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 7-9, 1928.Du Val, P. "关于平面中一组点的准线。" Proc. London Math. Soc. Ser. 2 35, 23-74, 1933.Honsberger, R. 更多数学拾零。 华盛顿特区：美国数学协会，第 114-118 页，1991 年。Salmon, G. 高等平面曲线论著，作为圆锥曲线论著的续篇，第 3 版。 都柏林：霍奇斯，1879 年。Schoute, P. H. "关于确定六维多胞形的顶点与三次曲面的线之间的关系。" Proc. Roy. Akad. Acad. Amsterdam 13, 375-383, 1910.Wells, D. 企鹅好奇与有趣的几何学词典。 伦敦：企鹅出版社，第 49 页，1991 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

四次曲线

请引用为

Weisstein, Eric W. "四次曲线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuarticCurve.html

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