三次曲线

三次曲线是代数曲线，其曲线阶数为 3。在域 上的代数曲线是一个方程 ，其中 是关于 和 的多项式，其系数在 中，并且 的次数是其各项（单项式）的最大次数。

例子包括 丢克勒斯蔓叶线、德·斯吕兹蚌线、笛卡尔叶形线、马克劳林三等分线、马耳他十字曲线、直角螺线、半立方抛物线、蛇形线、契尔恩豪森三次曲线 和 阿涅西的女巫，以及 椭圆曲线，例如 莫德尔曲线 和 奥乔亚曲线。

牛顿证明了所有的三次曲线都可以通过五个发散三次抛物线的投影生成。牛顿对三次曲线的分类出现在约翰·哈里斯于 1710 年在伦敦出版的Lexicon Technicum中的“曲线”章节中。牛顿还将所有三次曲线分为 72 种类型，遗漏了其中的六种。此外，他还表明，任何三次曲线都可以通过 椭圆曲线 的适当投影获得

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其中投影是双有理变换，并且一般三次曲线也可以写成

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牛顿的第一类是形式为的方程

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这是最难的情况，包括 蛇形线 作为子情况之一。第三类是

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这被称为牛顿发散抛物线。牛顿的第 66 条曲线是 牛顿三叉线。欧拉批评牛顿对三次曲线的分类，因为它缺乏普遍性。普吕克后来给出了更详细的分类，共有 219 种类型。

九个关联点定理指出，任何经过两条给定三次曲线的九个交点中的八个的三次曲线，都自动经过第九个交点（Evelyn et al. 1974, p. 15）。

选择一个点 ，并绘制曲线在 处的切线。将这条切线与曲线相交的点称为 。绘制另一条切线，并将与曲线的交点称为 。每条三次曲线都具有以下性质，在上面的标记图中，面积之间存在关系：

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(Honsberger 1991)。