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卡西尼卵形线

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CassiniOvals

卡西尼卵形线是一族 四次曲线，也称为卡西尼椭圆，由这样的点描述：它到两个固定点的距离的乘积为常数 b^2，其中两个固定点相距 2a。曲线的形状取决于 b/a。如果 a<b，则曲线是具有 卵形（上图左侧）或狗骨形（第二张图）的单环。 a=b 的情况产生 双纽线（第三张图）。如果 a>b，则曲线由两个环组成（右图）。卡西尼卵形线是 anallagmatic 曲线。

CassiniOvalCurves

上面说明了一系列 b/a=0.1 到 1.5 的值的卵形线。

卡西尼在 1680 年研究地球和太阳的相对运动时首次研究了该曲线。卡西尼认为太阳在一个这样的卵形线上绕地球运行，地球位于卵形线的一个 焦点 上。

卡西尼卵形线在双中心 双极坐标 中由以下方程定义

r_1r_2=b^2,
(1)

原点位于一个 焦点 上。更令人难以置信的曲线是由一个点的轨迹产生的，该点到 3 个或更多固定点的距离的乘积是一个常数。

卡西尼卵形线具有 笛卡尔 方程

[(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=b^4
(2)

或等价形式

(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4
(3)

以及极坐标方程

r^4+a^4-2a^2r^2[1+cos(2theta)]=b^4.
(4)

使用 二次方程 求解 r^2 得到

r^2=(2a^2cos(2theta)+/-sqrt(4a^4cos^2(2theta)-4(a^4-b^4)))/2
(5)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(a^4cos^2(2theta)+b^4-a^4)
(6)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(a^4[cos^2(2theta)-1]+b^4)
(7)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(b^4-a^4sin^2(2theta))
(8)
=a^2[cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2theta))].
(9)

设一个管半径为 a 的 环面 被一个垂直于环面质心平面的平面切割。将此平面到环面孔中心的距离称为 r，令 a=r，并考虑当 r 变化时，此平面与环面的交点。得到的曲线是卡西尼卵形线，双纽线 出现在 r=1/2 时。因此，卡西尼卵形线是 环面截线。

如果 a<b，则曲线具有 面积

A=1/2r^2dtheta
(10)
=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)r^2dtheta
(11)
=a^2+b^2E((a^2)/(b^2)),
(12)

其中积分是在曲线的一半上完成，然后乘以 2，并且 E(x) 是第二类完全 椭圆积分。如果 a=b，则曲线变为

r^2=a^2[cos(2theta)+sqrt(1-sin^2theta)]
(13)
=2a^2cos(2theta),
(14)

这是一个 双纽线，具有 面积

A=2a^2
(15)

（曲线的两个环 sqrt(2) 是通常双纽线的线性比例 r^2=a^2cos(2theta)，每个环的面积为 A=a^2/2）。如果 a>b，则曲线变为两个不相交的卵形线，方程为

r=+/-asqrt(cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2theta))),
(16)

其中 theta in [-theta_0,theta_0] 和

theta_0=1/2sin^(-1)[(b/a)^2].
(17)

另请参阅

卡西尼曲面, 双纽线, 曼德勃罗集, 卵形线, 环面

使用 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 221, 1987.Gray, A. "Cassinian Ovals." §4.2 in 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第 2 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 82-86, 1997.Kabai, S. 数学图形 I：使用 Mathematica 的计算机图形课程。 Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 145, 2002.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 153-155, 1972.Lockwood, E. H. 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 187-188, 1967.MacTutor 数学史档案馆. "Cassinian Ovals." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html.Piziak, R. and Turner, D. "Exploring Gerschgorin Circles and Cassini Ovals." Mathematica Educ. 3, 13-21, 1994.Smith, D. E. 数学史，第 2 卷：初等数学的专题。 New York: Dover, p. 329, 1958.Wells, D. 企鹅好奇与有趣的几何学词典。 London: Penguin, pp. 25-26, 1991.Yates, R. C. "Cassinian Curves." 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 8-11, 1952.

引用为

Weisstein, Eric W. "Cassini Ovals." 来自 -- 资源。 https://mathworld.net.cn/CassiniOvals.html

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