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克莱因四次曲线

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FunnyCurve

考虑平面四次曲线 X 由下式定义

x^3y+y^3z+z^3x=0,

这里使用了齐次坐标，因此 z 可以被视为一个参数（上面的图显示了曲线在 z 在 -2 和 2 之间的一些值时的情形），在一个特征为 3 的域上。Hartshorne (1977, p. 305) 称之为“有趣的曲线”，因为它是非奇异的，每个点都是拐点，并且对偶曲线 X^* 与 X 同构，但是自然映射 X->X^* 是纯不可分的。

Klein quartic
KleinQuarticCurve

复射影坐标中的曲面（Levy 1999, p. ix; 左图），以及由以下方程确定的理想曲面

x^3y+y^3+x=0

（Thurston 1999, p. 3; 右图）更恰当地被称为克莱因四次曲面或克莱因曲线。它具有恒定的零高斯曲率。

克莱因 (1879; 1999 年重印的译本) 发现这个曲面具有许多非凡的性质，包括在允许镜像反射时令人难以置信的 336 倍对称性（Levy 1999, p. ix; Thurston 1999, p. 2），后来发现这个数字是其类型曲线的最大可能值（Hurwitz 1893; Karcher and Weber 1999, p. 9）。克莱因通过模群的分式线性变换获得了这个方程，其系数是整数，并且模 7 简化为单位元（Levy 1999, p. ix）。

KleinQuarticToroid

抽象曲面无法在三维空间中精确渲染，但在拓扑上，克莱因四次曲线是一个三孔环面（Thurston 1999, pp. 1 和 4）。2008 年，该曲面被渲染成一个在有理坐标上具有 24 个平面七边形的环形体（McCooey 2009, Szilassi Lajos, 私人通信，2009 年 1 月 22 日）。

KleinQuarticHyperbolicTiling

克莱因四次曲线可以被视为柏拉图立体概念到双曲七边形镶嵌的扩展，如上图所示（Coxeter 1956; Thurston 1999, p. 7; Wolfram 2002, p. 1050）。在镶嵌中，第 n 个“环”中的七边形数量惊人地等于 7F_n，其中 F_n 是一个斐波那契数（Thurston 1999, p. 5）。

The Eightfold Way, by Helaman Ferguson

该曲面已被 Helaman Ferguson 用大理石和蛇纹石雕刻出来，并于 1993 年 11 月 14 日在伯克利的数学科学研究所揭幕（Levy 1999, Plate 1 following p. 142; Borwein and Bailey 2003, p. 55, 彩色图版 IV, 以及封底）。

另请参阅

双曲镶嵌, 四次曲线, 黎曼曲面

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参考文献

Borwein, J. 和 Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 87-88, 2003.Coxeter, H. S. M. "Regular Honeycombs in Hyperbolic Space." In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, Vol. 3. Groningen, Netherlands: Noordhoff, pp. 155-169, 1956. Reprinted as Ch. 10 in The Beauty of Geometry: Twelve Essays. New York: Dover, pp. 200-214, 1999.Hartshorne, R. Problem 2.4 in Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag, pp. 305 和 385, 1977.Hurwitz, A. "Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich." Math. Ann. 41, 403-442, 1893.Karcher, H. 和 Weber, M. "The Geometry of Klein's Riemann Surface." In The Eightfold Way: The Beauty of the Klein Quartic (Ed. S. Levy). New York: Cambridge University Press, pp. 9-49, 1999.King, R. B. "Chemical Applications of Topology and Group Theory, 29, Low Density Polymeric Carbon Allotropes Based on Negative Curvature Structures." J. Phys. Chem. 100, 15096, 1996.King, R. B. "Novel Highly Symmetrical Trivalent Graphs Which Lead to Negative Curvature Carbon and Boron Nitride Chemical Structures." Disc. Math. 244, 203-210, 2002.Klein, F. "Über die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen." Math. Ann. 14, 428-471, 1879. Reprinted in Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 3: Elliptische Funktionen etc. (Ed. R. Fricke et al. ). Berlin: Springer-Verlag, pp. 90-136, 1973.Klein, F. Translated by S. Levy. "On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions." In The Eightfold Way: The Beauty of the Klein Quartic. New York: Cambridge University Press, pp. 287-331, 1999.Levy, S. (Ed.). The Eightfold Way: The Beauty of the Klein Quartic. New York: Cambridge University Press, 1999.McCooey, D. "Toroidal Solids." http://homepage.mac.com/dmccooey/polyhedra/Toroidal.html.Thurston, W. P. "The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson." In The Eightfold Way: The Beauty of the Klein Quartic (Ed. S. Levy). New York: Cambridge University Press, pp. 1-7, 1999.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1050, 2002.

请引用为

Weisstein, Eric W. "克莱因四次曲线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KleinQuartic.html

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