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三次曲面

一个 代数曲面，阶数为 3。Schläfli 和 Cayley 对奇异三次曲面进行了分类。在一般三次曲面上，存在一种称为 double sixes 的奇特几何结构，以及由 Schläfli（Salmon 1965，Fischer 1986）发现的 27 条（可能是复数）线的特定排列，有时称为 Solomon's seal lines。非正则三次曲面可以包含 3、7、15 或 27 条实线 (Segre 1942, Le Lionnais 1983)。Clebsch 对角三次曲面包含所有可能的 27 条线。三次曲面上普通二重点的最大数量为四个，而具有四个普通二重点的唯一三次曲面是 Cayley 三次曲面。

三次曲面的例子包括 Cayley 三次曲面、Clebsch 对角三次曲面、ding-dong surface、handkerchief surface、Möbius strip、monkey saddle、shoe surface、Wallis's conical edge 和 Whitney umbrella。

Schoute (1910) 表明，可以将 27 条线与六维空间中特定 polytope 的顶点建立一一对应关系，使得线之间的所有关联关系都反映在 polytope 的连通性中，反之亦然 (Du Val 1933)。在一般平面 quartic curve 的 28 条双切线与七维 polytope (Coxeter 1928) 之间，以及亏格为 4 的规范曲线的 tritangent 平面与八维 polytope (Du Val 1933) 之间，也可以建立类似的对应关系。

光滑三次曲面包含 45 条 tritangents (Hunt)。光滑三次曲面的 Hessian 至少包含 10 个普通二重点，尽管 Cayley 三次曲面的 Hessian 包含 14 个 (Hunt)。

另请参阅

Cayley 三次曲面, Clebsch 对角三次曲面, Ding-Dong Surface, Double Sixes, Eckardt Point, Isolated Singularity, Solomon's Seal Lines, Tritangent

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参考文献

Bruce, J. and Wall, C. T. C. "On the Classification of Cubic Surfaces." J. London Math. Soc. 19, 245-256, 1979.Cayley, A. "A Memoir on Cubic Surfaces." Phil. Trans. Roy. Soc. 159, 231-326, 1869.Coxeter, H. S. M. "The Pure Archimedean Polytopes in Six and Seven Dimensions." Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 7-9, 1928.Du Val, P. "On the Directrices of a Set of Points in a Plane." Proc. London Math. Soc. Ser. 2 35, 23-74, 1933.Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 9-14, 1986.Fladt, K. and Baur, A. Analytische Geometrie spezieler Flächen und Raumkurven. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 248-255, 1975.Hunt, B. "Algebraic Surfaces." http://www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html.Hunt, B. "The 27 Lines on a Cubic Surface" and "Cubic Surfaces." Ch. 4 and Appendix B.4 in The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. New York: Springer-Verlag, pp. 108-167 and 302-310, 1996.Klein, F. "Über Flächen dritter Ordnung." Gesammelte Abhandlungen, Band II. Berlin: Springer-Verlag, pp. 11-62, 1973.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 49, 1983.Rodenberg, C. "Zur Classification der Flächen dritter Ordnung." Math. Ann. 14, 46-110, 1878.Salmon, G. Analytic Geometry of Three Dimensions. New York: Chelsea, 1965.Schläfli, L. "On the Distribution of Surfaces of Third Order into Species, in Reference to the Absence or Presence of Singular Points, and the Reality of Their Lines." Philos. Trans. Roy. Soc. London 153, 193-241, 1863.Schoute, P. H. "On the Relation Between the Vertices of a Definite Sixdimensional Polytope and the Lines of a Cubic Surface." Proc. Roy. Acad. Amsterdam 13, 375-383, 1910.Segre, B. The Nonsingular Cubic Surface. Oxford, England: Clarendon Press, 1942.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三次曲面

请引用为

Weisstein, Eric W. "三次曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CubicSurface.html

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