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蚶线

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Limacon

蚶线是一种 极坐标曲线 的形式

r=b+acostheta
(1)

也称为帕斯卡蚶线。它最早由丢勒研究，他在Underweysung der Messung (1525)中给出了一种绘制它的方法。它由布莱兹·帕斯卡的父亲艾蒂安·帕斯卡重新发现，并于 1650 年由吉尔-佩尔索纳·罗伯瓦尔命名 (MacTutor Archive)。“limaçon”一词源于拉丁语 limax，意思是“蜗牛”。

如果 b>=2a，则蚶线是凸的。如果 2a>b>a，则蚶线是凹陷的。如果 b=a，则蚶线退化为心脏线。如果 b<a，则蚶线有一个内环。如果 b=a/2，则它是三等分角线（但不是 麦克劳林三等分角线）。

LimaconLoop

对于 b<a，内环的面积为

A_(inner loop)=1/2int_(pi-theta_0)^(pi+theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(2)
=int_(pi-theta_0)^pi(b+acostheta)^2dtheta
(3)
=(1/2a^2+b^2)cos^(-1)(b/a)-3/2bsqrt(a^2-b^2),
(4)

其中 theta_0=cos^(-1)(b/a)。同样，外包络线包围的面积为

A_(outer envelope)=1/2int_(-(pi-theta_0))^(pi-theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(5)
=int_0^(pi-theta_0)(b+acostheta)^2dtheta
(6)
=3/2bsqrt(a^2-b^2)+pi(1/2a^2+b^2)-(1/2a^2+b^2)cos^(-1)(b/a).
(7)

因此，环之间的面积为

A_(between loops)=3bsqrt(a^2-b^2)+(a^2+2b^2)sin^(-1)(b/a).
(8)

在 b=a/2 的特殊情况下，这些简化为

A_(inner loop)=1/8a^2(2pi-3sqrt(3))
(9)
A_(between loops)=1/4a^2(pi+3sqrt(3))
(10)
A_(outer envelope)=1/8a^2(4pi+3sqrt(3)).
(11)

采用参数化

x=(b+acost)cost
(12)
y=(b+acost)sint
(13)

给出弧长 s(t) 作为 t 的函数，表示为

s(t)=2(a+b)E(t/2,(2sqrt(ab))/(a+b)),
(14)

其中 E(z,k) 是第二类椭圆积分。令 t=2pi，得到整条曲线的弧长为

s=4(a+b)E((2sqrt(ab))/(a+b)),
(15)

其中 E(k) 是第二类完全椭圆积分。

LimaconEnvelope

蚶线可以通过指定一个固定点 P 来生成，然后在给定圆上绘制一系列圆心都在给定圆上且都经过 P 的圆。这些曲线的包络线是蚶线。如果固定点在圆的圆周上，则包络线是心脏线。

蚶线是anallagmatic 曲线。蚶线是以圆圆上一点为顶点的蚌线 (Wells 1991)。

另请参阅

豆形曲线, 心脏线, 圆, 蚶线渐屈线, 蚶线三等分角线

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 数学标准表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 220-221, 1987.Baudoin, P. 笛卡尔卵形线和帕斯卡蚶线。 Paris: Vuibert, 1938.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 113-117, 1972.Lockwood, E. H. "蚶线。" Ch. 5 in 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 44-51, 1967.Loomis, E. S. "蚶线。" §2.4 in 勾股定理：其证明分析与分类以及四种“证明”数据来源书目，第二版。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 23-25, 1968.Loy, J. "角度三等分。" http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves.MacTutor History of Mathematics Archive. "帕斯卡蚶线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Limacon.html.Smith, D. E. 数学史，第 2 卷：初等数学专题。 New York: Dover, p. 329, 1958.Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 154-155, 1999.Wells, D. 企鹅好奇与趣味几何词典。 London: Penguin, pp. 140-141, 1991.Yates, R. C. "帕斯卡蚶线。" 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 148-151, 1952.Yates, R. C. 三等分角难题。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1971.

引用为

Weisstein, Eric W. “蚶线。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Limacon.html

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