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尼科米德斯蚌线

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ConchoidofNicomedesCurves
Conchoid of Nicomedes animation
ConchoidofNicomedes

一条使用 极坐标的曲线，

r=b+asectheta
(1)

由希腊数学家尼科米德斯于公元前 200 年左右研究，也称为螺线。它是从焦点沿线测量，距离直线固定距离的点的轨迹 (MacTutor Archive)。尼科米德斯认识到该族曲线的三种不同形式，分别对应于 0<a/b<1, a/b=1, 和 a/b>1。（对于 a=0, 它显然退化为一个圆。）

尼科米德斯蚌线是 17 世纪数学家们的最爱，可用于解决倍立方问题、三等分角问题、正七边形构造以及其他纽西斯作图问题 (Johnson 1975)。

在笛卡尔坐标系中，尼科米德斯蚌线可以写成

(x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2
(2)

或

(a-b-x)(a+b-x)x^2+(a-x)^2y^2=0.
(3)

该蚌线以 x=a 为渐近线，并且任一支曲线与渐近线之间的面积是无限的。

ConchoidofNicomedesLoop

当 0<a/b<1 时，具有 0<a/b<1 的蚌线有一个环，其中 theta in [x,2pi-x]，其中 x=sec^(-1)(-b/a)，环的面积为

A=1/2int_x^(2pi-x)r^2dtheta
(4)
=1/2int_(sec^(-1)(-b/a))^(2pi-sec^(-1)(-b/a))(b+asectheta)^2dtheta
(5)
=asqrt(b^2-a^2)-2abln(b-sqrt(b^2-a^2))+b^2cos^(-1)(a/b).
(6)

曲率和切线角由下式给出

kappa(t)=(b(b+3asect-2asec^3t))/((b^2+2absect+a^2sec^4t)^(3/2))
(7)
phi(t)=-1/2pi+t+tan^(-1)[((a+bcost)cott)/a].
(8)

另请参阅

蚌线, 斯卢兹蚌线

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 215, 1987.Johnson, C. "正七边形的构造。" Math. Gaz. 59, 17-21, 1975.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 135-139, 1972.Loomis, E. S. "蚌线。" §2.2 in 勾股定理：其证明的分析和分类以及四种“证明”数据来源的参考书目，第 2 版。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 20-22, 1968.Loy, J. "三等分角。" http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves.MacTutor History of Mathematics Archive. "蚌线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Conchoid.html.Pappas, T. "尼科米德斯蚌线。" 数学之乐。 San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 94-95, 1989.Smith, D. E. 数学史，第 2 卷：初等数学专题。 New York: Dover, p. 327, 1958.Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 154-155, 1999.Szmulowicz, F. "锥体反射和折射中的尼科米德斯蚌线。" Amer. J. Phys. 64, 467-471, Apr. 1996.Wells, D. 企鹅好奇有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 34, 1986.Wells, D. 企鹅好奇有趣的几何词典。 London: Penguin, pp. 38-39, 1991.Yates, R. C. "蚌线。" 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 31-33, 1952.

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "尼科米德斯蚌线。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ConchoidofNicomedes.html

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