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笛卡尔卵形线

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CartesianOvals

“笛卡尔卵形线”，有时也称为笛卡尔曲线或笛卡尔卵线，是由两个卵形线组成的四次曲线。它们最早由笛卡尔在 1637 年研究，牛顿在对三次曲线进行分类时也研究过。它是点 P 的轨迹，该点到两个焦点 F_1 和 F_2 在双中心双极坐标系中的距离满足

mr+/-nr^'=k,
(1)

其中 m,n 是正整数，k 是一个正实数，并且 r 和 r^' 是到 F_1 和 F_2 的距离 (Lockwood 1967, p. 188)。

笛卡尔卵形线是自反曲线。与笛卡尔卵形线不同，这些曲线具有三个焦点。

在笛卡尔坐标系中，笛卡尔卵形线可以写成

msqrt((x-a)^2+y^2)+nsqrt((x+a)^2+y^2)=k.
(2)

将包含 n 的项移到右侧，两边平方，化简和重新排列得到

(x^2+y^2+a^2)(m^2-n^2)-2ax(m^2+n^2)-k^2=-2knsqrt((x+a)^2+y^2),
(3)

再次两边平方得到

[(m^2-n^2)(x^2+y^2+a^2)-2ax(m^2+n^2)-k^2]^2 =4k^2n^2[(a+x)^2+y^2].
(4)

定义

b=m^2-n^2
(5)
c=m^2+n^2
(6)

得到稍微简单的形式

[a^2b-k^2-2acx+b(x^2+y^2)]^2=2(c-b)k^2[(a+x)^2+y^2],
(7)

这对应于 Lawrence (1972, p. 157) 在 a=1 和 k=1 的情况下给出的形式。

如果 m=n，则卵形线变成中心圆锥曲线。

如果 c^' 是 F_1 和 F_2 之间的距离，并且使用方程

r+mr^'=a
(8)

代替，则另一种形式是

[(1-m^2)(x^2+y^2)+2m^2c^'x+a^('2)-m^2c^('2)]^2=4a^('2)(x^2+y^2).
(9)

另请参阅

双极坐标, 卵形线

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参考文献

Baudoin, P. Les ovales de Descartes et le limaçon de Pascal. Paris: Vuibert, 1938.Cundy, H. and Rollett, A. "The Cartesian Ovals." §2.4.3 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 35, 1989.Lawrence, J. D. "Cartesian Oval." §5.17 in A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 155-157, 1972.Lockwood, E. H. "The Ovals of Descartes." A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 188, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cartesian Oval." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cartesian.html.Wassenaar, J. "Cartesian Oval." http://www.2dcurves.com/quartic/quarticct.html.

请引用为

Weisstein, Eric W. "笛卡尔卵形线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CartesianOvals.html

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