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心脏线

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Cardioid
CardioidFrames

该曲线由极坐标方程给出

r=a(1-costheta),
(1)

有时也写作

r=2b(1-costheta),
(2)

其中 b=a/2。

心脏线具有笛卡尔坐标方程

(x^2+y^2+ax)^2=a^2(x^2+y^2),
(3)

和参数方程

x=acost(1-cost)
(4)
y=asint(1-cost).
(5)

心脏线是蚶线的退化情况。它也是一个1-尖点外摆线（其中 r=r），并且是由一个圆周上的点发出的光线经圆反射形成的反射包络线。

心脏线在原点有一个尖点。

“心脏线”这个名称最早由 de Castillon 在 1741 年的《英国皇家学会哲学汇刊》中使用。它的弧长由 la Hire 在 1708 年发现。对于任何给定的梯度，心脏线都恰好有三条平行切线。此外，通过尖点的任何弦的端点处的切线都成直角。通过尖点的任何弦的长度为 2a。

CardioidEnvelope
Cardioid envelope

心脏线也可以通过以下方式生成。绘制一个圆 C 并固定其上的一个点 A。现在绘制一组以 C 的圆周为中心，并穿过 A 的圆。圆的这些包络线然后就是一条心脏线 (Pedoe 1995)。设圆 C 以原点为中心，半径为 1，并设固定点为 A=(1,0)。那么，以与 (1, 0) 成角度 theta 的点为中心的圆的半径为

r^2=(0-costheta)^2+(1-sintheta)^2
(6)
=cos^2theta+1-2sintheta+sin^2theta
(7)
=2(1-sintheta).
(8)

如果固定点 A 不在圆上，则生成的包络线是蚶线而不是心脏线。

弧长、曲率和切线角为

s=8asin^2(1/4t)
(9)
kappa=(3csc(1/2t))/(4a)
(10)
phi=3/2t.
(11)

曲线的周长和面积为

L=8a
(12)
A=3/2pia^2.
(13)

另请参阅

心脏线坐标, 圆, 蔓叶线, 硬币悖论, 蚌线, 心形曲线, 双纽线, 蚶线, 对数螺线, 曼德勃罗集, 肾脏线

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参考文献

Archibald, R. C. "The Cardioide and Some of Its Related Curves." Inaugural dissertation der Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Facultät der Kaiser-Wilhelms-Universität, Strassburg zur Erlangung der Doctorwürde. Strassburg, France: J. Singer, 1900.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Gray, A. "Cardioids." §3.3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 54-55, 1997.Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 123, 2002.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 118-121, 1972.Lockwood, E. H. "The Cardioid." Ch. 4 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 34-43, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cardioid." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cardioid.html.Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. xxvi-xxvii, 1995.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 326, 1958.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 24-25, 1991.Yates, R. C. "The Cardioid." Math. Teacher 52, 10-14, 1959.Yates, R. C. "Cardioid." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 4-7, 1952.

请引用为

Weisstein, Eric W. "心脏线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cardioid.html

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