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双纽线

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Lemniscate

双纽线，也称为伯努利双纽线，是一种 极坐标曲线，定义为点的 轨迹，使得从两个固定点 (-a,0) 和 (a,0) （可以被认为是关于乘法的 焦点 而不是加法）的距离的乘积是一个常数 a^2。这给出了 笛卡尔方程

sqrt((x-a)^2+y^2)sqrt((x+a)^2+y^2)=a^2.
(1)

两边平方得到

[(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=a^4,
(2)

化简后得到优美的形式

(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2).
(3)

双纽线的半宽（从原点的交叉点到水平端点的距离）是

x_(max)=a,
(4)

而其半高是

y_(max)=a/(2sqrt(2)).
(5)

切换到 极坐标 得到方程

r^2=a^2cos(2theta),
(6)

或

r=asqrt(cos(2theta)).
(7)

请注意，此方程仅为角度 -pi/4<theta<pi/4 和 3pi/4<theta<5pi/4 定义。

半宽为 a 的双纽线的 参数方程 为

x=(acost)/(1+sin^2t)
(8)
y=(asintcost)/(1+sin^2t).
(9)

以 焦点 为原点的双中心 双极坐标 方程为

rr^'=1/2a^2,
(10)

在 垂足坐标 中，以中心为 垂足点，方程为

pa^2=r^3.
(11)

雅各布·伯努利在 1694 年在Acta Eruditorum 上发表了一篇文章，其中他称这条曲线为 lemniscus（拉丁语，意为“吊坠丝带”）。伯努利没有意识到他所描述的曲线是卡西尼在 1680 年描述的 卡西尼卵形线 的一个特例。双纽线的一般性质是由 G. 法尼亚诺在 1750 年发现的（MacTutor Archive）。高斯和欧拉对曲线 弧长 的研究导致了后来对 椭圆函数 的研究。

双纽线是 双曲线 关于其中心的 反曲线。

LemniscateEnvelope

双纽线也可以生成为中心在 直角双曲线 上并通过 双曲线 中心的圆的 包络线 (Wells 1991)。

LemniscateToricSection

当切割平面沿其中心孔的圆周与环面相切时，双纽线类似于某些 环面截线。例如，相交一个环面

(c^'-sqrt(x^2+y^2))^2+z^2=a^('2)
(12)

其从孔中心到环面中心的半径 c^'=1 和管半径 a^'=4/10 与平面 y=6/10 的交点由下式描述

8/5x^2-x^4-(12)/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(13)

如上所示。虽然交点曲线接近 xz 平面中参数为 a=2sqrt(2/5) 的双纽线方程

8/5x^2-x^4-8/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(14)

但由于 z^2 项的差异，它并不等价，如下图所示

LemniscateToricSectionComparison

然而，在 c^'=2a' 的环面的特殊情况下，环面截线正好变成半宽为的双纽线

a=2sqrt(a^'c^').
(15)

双纽线的 面积 是

A=2(1/2intr^2dtheta)
(16)
=a^2int_(-pi/4)^(pi/4)cos(2theta)dtheta
(17)
=a^2.
(18)

作为 t 函数的 弧长 由下式给出

s(t)=sqrt(2)aint_0^t[3-cos(2t)]^(-1/2)dt
(19)
=aF(t,i),
(20)

其中 F(z,k) 是 第一类椭圆积分。整条曲线的弧长为

s=4int_0^a(dr)/(sqrt(1-(r/a)^4))
(21)
=4aint_0^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(22)
=2La
(23)
=5.2441151086...a
(24)

(OEIS A064853)，其中 L 是 双纽线常数，它在双纽线中的作用类似于 圆 中的 pi。

双纽线的 曲率 和 切线角 为

kappa(t)=(3sqrt(2)cost)/(asqrt(3-cos(2t)))
(25)
phi(t)=3tan^(-1)(sint).
(26)

另请参阅

卡西尼卵形线, 魔鬼曲线, 哑铃曲线, 八字曲线, 数字八, 双纽线常数, 双纽线函数, 利希滕费尔斯最小曲面, 曼德勃罗集双纽线, 环面截线, 维维亚尼曲线

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参考文献

Ayoub, R. "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals." Arch. Hist. Exact Sci. 29, 131-149, 1984.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 220, 1987.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Gray, A. "Lemniscates of Bernoulli." §3.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 52-53, 1997.Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 143, 2002.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 120-124, 1972.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 37, 1983.Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Lemniscate of Bernoulli." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Lemniscate.html.Sloane, N. J. A. Sequence A064853 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 329, 1958.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 139-140, 1991.Yates, R. C. "Lemniscate." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 143-147, 1952.

请引用为

Weisstein, Eric W. "双纽线。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Lemniscate.html

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