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直线

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直线是没有粗细且在两个方向无限延伸的直的一维图形。直线有时被称为直线，或者更古老地称为正线 (Casey 1893)，以强调它在其长度上的任何地方都没有“弯曲”。虽然直线本质上是一维对象，但它们可以嵌入到更高维度的空间中。

Harary (1994) 将图的边称为“直线”。

Line

一条直线由两个点唯一确定，穿过点 A 和 B 的直线表示为 <->; AB。类似地，以这些点为端点的有限线段的长度可以表示为 AB^_。直线也可以用单个小写字母表示 (Jurgensen et al. 1963, p. 22)。

欧几里得将直线定义为“无宽度的长度”，将直线定义为“在其自身上的点上均匀延伸”的线 (Kline 1956, Dunham 1990)。

首先考虑二维平面中的直线。位于同一平面内且互不相交的两条直线称为平行线。位于不同平面内且互不相交的两条直线称为异面直线。

LineIntercepts

x 轴截距为 a，y 轴截距为 b 的直线由截距式给出

x/a+y/b=1.
(1)

截距式的直线通常会被改写成所谓的标准式

ax+by=c.
(2)

穿过 (x_1,y_1) 且斜率为 m 的直线由点斜式给出

y-y_1=m(x-x_1).
(3)

y 轴截距为 y，斜率为 b 的直线由斜截式给出

y=mx+b.
(4)

穿过 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 的直线由两点式给出

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x-x_1).
(5)

参数形式由下式给出

x=x_0+at
(6)
y=y_0+bt.
(7)

其他形式有

a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
(8)
ax+by+c=0
(9)
|x y 1; x_1 y_1 1; x_2 y_2 1|=0.
(10)

二维直线也可以表示为向量。沿直线的向量

ax+by=0
(11)

由下式给出

t[-b; a],
(12)

其中 t in R。类似地，形式为

t[a; b]
(13)

的向量与该直线垂直。

三点共线的条件是

|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|=0.
(14)

直线之间的夹角

A_1x+B_1y+C_1=0
(15)
A_2x+B_2y+C_2=0
(16)

是

tantheta=(A_1B_2-A_2B_1)/(A_1A_2+B_1B_2).
(17)

连接三线坐标为 alpha_1:beta_1:gamma_1 和 alpha_2:beta_2:gamma_2 的点的直线是满足以下条件的点集 alpha:beta:gamma

|alpha beta gamma; alpha_1 beta_1 gamma_1; alpha_2 beta_2 gamma_2|=0
(18)
(beta_1gamma_2-gamma_1beta_2)alpha+(gamma_1alpha_2-alpha_1gamma_2)beta+(alpha_1beta_2-beta_1alpha_2)gamma=0.
(19)

穿过点 P_1 且方向为 (a_1,b_1,c_1) 的直线与穿过点 P_2 且方向为 (a_2,b_2,c_2) 的直线相交，当且仅当

|x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1; a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2|=0.
(20)

穿过点 alpha^':beta^':gamma^' 且平行于

lalpha+mbeta+ngamma=0
(21)

是

|alpha beta gamma; alpha^' beta^' gamma^'; bn-cm cl-an am-bl|=0.
(22)

直线

lalpha+mbeta+ngamma=0
(23)
l^'alpha+m^'beta+n^'gamma=0
(24)

平行，如果

a(mn^'-nm^')+b(nl^'-ln^')+c(lm^'-ml^')=0
(25)

对于所有 (a,b,c)，并且垂直，如果

(ll^'+mm^'+nn^')-(mn^'+m^'n)cosA-(nl^'+n^'l)cosB-(lm^'+l^'m)cosC=0
(26)

对于所有 (a,b,c) (Sommerville 1961, Kimberling 1998, p. 29)。

穿过点 alpha^':beta^':gamma^' 且垂直于 (◇) 的直线由下式给出

|alpha beta gamma; alpha^' beta^' gamma^'; l-mcosC-ncosB m-ncosA-lcosC n-lcosB-mcosA|=0.
(27)

在三维空间中，穿过点 (x_0,y_0,z_0) 且平行于非零向量 v=(a,b,c) 的直线具有参数方程

x=x_0+at
(28)
y=y_0+bt
(29)
z=z_0+ct,
(30)

简明地写成

x=x_0+vt.
(31)

类似地，三维空间中穿过 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 的直线具有参数向量方程

x=x_1+(x_2-x_1)t,
(32)

其中此参数化对应于 x(t=0)=x_1 和 x(t=1)=x_2。

另请参阅

渐近线, 割线, Brocard 线, Cayley 线, 共线, 共点, 临界线, Desargues 定理, Erdős-Anning 定理, 欧拉线, 流线, Gergonne 线, 虚线, 等角线, 各向同性线, Lemoine 轴, 直线-直线相交, 直线-平面相交, 线段, 线段范围, 通常线, Pascal 线, 垂足线, 线束, Philo 线, 点, 点到直线距离--二维, 点到直线距离--三维, 平面, Plücker 线, 极线, 根轴, 射线, 实数线, 割线, Simson 线, 异面直线, Soddy 线, Solomon's Seal 线, 标准式, Steiner 集, Steiner 定理, Sylvester 直线问题, Symmedian, 切线, 横截线, 三线线, 世界线 在 MathWorld 课堂中探索此主题

本条目的部分内容由 Christopher Stover 贡献

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参考文献

Casey, J. "The Right Line." Ch. 2 in 关于点、线、圆和圆锥曲线的解析几何的专著，包含其最新扩展的说明，以及大量示例，第 2 版，修订和扩充。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 30-95, 1893.Dunham, W. 天才之旅：伟大的数学定理。 New York: Wiley, p. 32, 1990.Harary, F. 图论。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Jurgensen, R. C.; Donnelly, A. J.; and Dolciani, M. P. 现代几何：结构与方法。 Boston, MA: Houghton-Mifflin, p. 22, 1963.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Lines and Planes in Space." §4 in 带证明的立体几何测量，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 9-12, 1948.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kline, M. "The Straight Line." Sci. Amer. 156, 105-114, Mar. 1956.MacTutor History of Mathematics Archive. "Straight Line." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Straight.html.Sommerville, D. M. Y. 解析圆锥曲线，第 3 版。 London: G. Bell and Sons, p. 186, 1961.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Linear Function bx+c and Its Reciprocal." Ch. 7 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 53-62, 1987.

请引用为

Stover, Christopher 和 Weisstein, Eric W. "Line." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Line.html

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