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直线与直线的交点

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LineLineIntersection

两条直线 L_1 和 L_2 在二维空间中的交点，其中 L_1 穿过点 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2)，并且 L_2 穿过点 (x_3,y_3) 和 (x_4,y_4)，由下式给出

x=(||x_1 y_1; x_2 y_2| |x_1 1; x_2 1|; |x_3 y_3; x_4 y_4| |x_3 1; x_4 1||)/(||x_1 1; x_2 1| |y_1 1; y_2 1|; |x_3 1; x_4 1| |y_3 1; y_4 1||)=(||x_1 y_1; x_2 y_2| x_1-x_2; |x_3 y_3; x_4 y_4| x_3-x_4|)/(|x_1-x_2 y_1-y_2; x_3-x_4 y_3-y_4|)
(1)
y=(||x_1 y_1; x_2 y_2| |y_1 1; y_2 1|; |x_3 y_3; x_4 y_4| |y_3 1; y_4 1||)/(||x_1 1; x_2 1| |y_1 1; y_2 1|; |x_3 1; x_4 1| |y_3 1; y_4 1||)=(||x_1 y_1; x_2 y_2| y_1-y_2; |x_3 y_3; x_4 y_4| y_3-y_4|)/(|x_1-x_2 y_1-y_2; x_3-x_4 y_3-y_4|),
(2)

其中 |a b; c d| 表示一个行列式。这对应于同时求解

|x y 1; x_1 y_1 1; x_2 y_2 1|=0
(3)
|x y 1; x_3 y_3 1; x_4 y_4 1|=0
(4)

以求 x 和 y。Antonio (1992) 和 Hill (1994) 给出了其他处理方法。

在三线坐标中给出的两条直线的交点为

l_1alpha+m_1beta+n_1gamma=0
(5)
l_2alpha+m_2beta+n_2gamma=0
(6)

是

|m_1 m_2; n_1 n_2|:|n_1 n_2; l_1 l_2|:|l_1 l_2; m_1 m_2|.
(7)

de Berg等人 (2000) 给出了线段相交的伪代码。

三线坐标中的三条直线

l_1alpha+m_1beta+n_1gamma=0
(8)
l_2alpha+m_2beta+n_2gamma=0
(9)
l_3alpha+m_3beta+n_3gamma=0
(10)

如果它们的三线坐标满足，则共点

|l_1 m_1 n_1; l_2 m_2 n_2; l_3 m_3 n_3|=0,
(11)

在这种情况下，该点为

m_2n_3-n_2m_3:n_2l_3-l_2n_3:l_2m_3-m_2l_3.
(12)

如果直线的系数满足，则笛卡尔坐标系中的三条直线共点

A_1x+B_1y+C_1=0
(13)
A_2x+B_2y+C_2=0
(14)
A_3x+B_3y+C_3=0
(15)

满足

|A_1 B_1 C_1; A_2 B_2 C_2; A_3 B_3 C_3|=0.
(16)

在三维空间中，代数变得更加复杂。两条直线的交点，分别包含点 x_1=(x_1,y_1,z_1) 和 x_2=(x_2,y_2,z_2)，以及 x_3=(x_3,y_3,z_3) 和 x_4=(x_4,y_4,z_4)，也可以通过同时求解直接找到

x=x_1+(x_2-x_1)s
(17)
x=x_3+(x_4-x_3)t
(18)

以及四个点共面的条件（即，直线不是异面直线），

|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|=(x_3-x_1)·[(x_2-x_1)x(x_4-x_3)]=0
(19)

以求 x=(x,y,z)，消去 s 和 t。这组方程可以求解 s 以得到

s=((cxb)·(axb))/(|axb|^2),
(20)

其中

a=x_2-x_1
(21)
b=x_4-x_3
(22)
c=x_3-x_1
(23)

(Hill 1994)。

然后可以通过代入 s 来立即找到交点，得到

x=x_1+a((cxb)·(axb))/(|axb|^2).
(24)

通过额外定义，可以获得稍微更对称和简洁的形式

v=a^^xb^^
(25)
s_1=(det(c b^^ v^^))/(|v|^2)
(26)
s_2=(det(c a^^ v^^))/(|v|^2),
(27)

其中 x^^ 表示一个单位向量，然后

x=1/2(x_1+a^^s_1+x_3+b^^s_2)
(28)

(Goldman 1990)。

另请参见

共点, 共点的, 交点, 直线, 直线与直线的夹角, 直线与直线的距离, 直线与平面的交点, 普罗克洛斯公理, 异面直线

使用 探索

参考文献

Antonio, F. "Faster Line Segment Intersection. Ch. IV.6 in Graphics Gems III (Ed. D. Kirk). San Diego: Academic Press, pp. 199-202 and 500-501, 1992.Bentley, J. and Ottmann, T. "Algorithms for Reporting and Counting Geometric Intersections." IEEE Trans. Comput. C-28, 643-647, 1979.de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; and Schwarzkopf, O. Computational Geometry. New York: Springer, pp. 19-29, 2000.Goldman, R. "Intersection of Two Lines in Three-Space." In Graphics Gems I (Ed. A. S. Glassner). San Diego: Academic Press, p. 304, 1990.Hill, F. S. Jr. "The Pleasures of 'Perp Dot' Products." Ch. II.5 in Graphics Gems IV (Ed. P. S. Heckbert). San Diego: Academic Press, pp. 138-148, 1994.Mehlhorn, K. and Näher, S. "Implementing a Sweep Line Algorithm for the Straight Line Segment Intersection Problem." n.d. http://www.mpi-sb.mpg.de/LEDA/articles/sweep.ps.gz.Prasad, M. "Exact Computation of 2-D Intersections." Ch. IV.4 in Graphics Gems II (Ed. J. Avro). Boston, MA: Academic Press, pp. 7-9, 1991.Prasad, M. "Faster Line Segment Intersection." Ch. IV.6 in Graphics Gems II (Ed. J. Avro). Boston, MA: Academic Press, pp. 7-9, 1991.

在 中被引用

直线与直线的交点

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "直线与直线的交点。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Line-LineIntersection.html

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