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割线

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割线是在复平面上的一条曲线（端点可以是开的、闭的或半开的），解析多值函数在该曲线上是不连续的。为了方便起见，割线通常被取为直线或线段。割线（即使是由曲线组成的割线）也被称为割线（Arfken 1985, p. 397）、裂缝（Kahan 1987）或分支线。

例如，考虑函数 z^2，它将每个复数 z 映射到一个明确定义的数 z^2。它的反函数 sqrt(z)，另一方面，例如，将值 z=1 映射到 sqrt(1)=+/-1。虽然可以为这些函数选择唯一的主值（在这种情况下，主平方根是正值），但这些选择不能在整个复平面上连续进行。相反，必须出现不连续线。处理这些不连续性的最常见方法是采用所谓的割线。一般来说，割线不是唯一的，而是通过约定选择的，以给出简单的解析性质（Kahan 1987）。有些函数的割线结构相对简单，而另一些函数的割线则极其复杂。

表示多值函数的割线的替代方法是使用黎曼曲面。

除了割线之外，还存在称为分支点的奇点。但是应该注意的是，割线的端点不一定是分支点。

对于单值三角函数、双曲函数、整数幂和指数函数，不会出现割线。然而，它们的多值反函数确实需要割线。下面的图表和表格总结了反三角函数、反双曲函数、非整数幂和对数函数在 Wolfram 语言中采用的割线结构。

BranchCuts1
BranchCuts2
函数名称函数割线
反余割csc^(-1)z(-1,1)
反余弦cos^(-1)z(-infty,-1) 和 (1,infty)
反余切cot^(-1)z(-i,i)
反双曲余割csch^(-1)(-i,i)
反双曲余弦cosh^(-1)(-infty,1)
反双曲余切coth^(-1)[-1,1]
反双曲正割sech^(-1)(-infty,0] 和 (1,infty)
反双曲正弦sinh^(-1)(-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)
反双曲正切tanh^(-1)(-infty,-1] 和 [1,infty)
反secantsec^(-1)z(-1,1)
反正弦sin^(-1)z(-infty,-1) 和 (1,infty)
反正切tan^(-1)z(-iinfty,-i] 和 [i,iinfty)
自然对数lnz(-infty,0]
幂z^n,n not in Z(-infty,0) 当 R[n]<=0 时； (-infty,0] 当 R[n]>0 时
平方根sqrt(z)(-infty,0)

另请参阅

分支, 分支点, 割线, 不连续性, 反双曲函数, 反三角函数, 多值函数, 主分支, 主值, 黎曼曲面

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79 and 86, 1972.Ahlfors, L. V. Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, p. 75, 1979.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Bradford, R.; Corless, R. M.; Davenport, J. H.; Jeffrey, D. J.; and Watt, S. M. "Reasoning About the Elementary Functions of Complex Analysis." Ann. Math. Artificial Intell. 36, 303-318, 2002.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1997.Dingle, A. and Fateman, R. J. "Branch Cuts in Computer Algebra." In Symbolic and Algebraic Computation (Ed. J. von zur Gathen and M. Giesbracht). New York: ACM Press, pp. 250-257, 1994.Duffy, D. G. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2004.Felsen, L. B. and Marcuvitz, I. N. Radiation and Scattering of Waves. New York: IEEE Press, 1994.Kahan, W. "Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much Ado About Nothing's Sign Bit." In The State of the Art in Numerical Analysis: Proceedings of the Joint IMA/SIAM Conference on the State of the Art in Numerical Analysis Held at the UN (Ed. A. Iserles and M. J. D. Powell). New York: Clarendon Press, pp. 165-211, 1987.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1968.Mahan, G. D. Applied Mathematics. New York: Kluwer, 2002.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 399-401, 1953.Remmert, R. Funktionentheorie 1. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Remmert, R. Funktionentheorie 2. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 188-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

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割线

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Weisstein, Eric W. "割线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BranchCut.html

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