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西姆森线

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SimsonLine

西姆森线是包含从外接圆上任意点 P 到三角形的边或其延长线的垂线的垂足 P_1, P_2, 和 P_3 的线。三角形。 这条线被 Poncelet 归功于 Simson，但现在通常被称为 Wallace-Simson 线，因为它实际上并未出现在 Simson 的任何著作中（Johnson 1929, p. 137; Coxeter 和 Greitzer 1967, p. 41; de Guzmán 1999）。 上述命题的逆命题，即 三角形 DeltaABC 平面上所有点 P 的轨迹，使得从三角形三边到点的垂足共线，由 DeltaABC 的外接圆给出，有时被称为 Wallace-Simson 定理 (de Guzmán 1999)。

对于位于外接圆上的点 p:q:r，即满足

cpq+bpr+aqr=0,

西姆森线的三线方程为

(p(q+rcosA)(r+qcosA))/(sinA)alpha +(q(r+pcosB)(p+rcosB))/(sinB)beta +(r(p+qcosC)(q+pcosC))/(sinC)gamma=0

(P. Moses，私人通讯，1 月 27 日，2005 年)。

SimsonLineHP

西姆森线平分线段 HP，其中 H 是垂心 (Honsberger 1995, p. 46)。 此外，HP 的中点位于九点圆上 (Honsberger 1995, pp. 46-47)。 三角形外心上两个对点的西姆森线互相垂直，并在九点圆上相交。

两点 P 和 P^' 的西姆森线之间的角是弧 PP^' 的角的一半。 任何多边形顶点的西姆森线是通过该多边形顶点的高。 与多边形顶点相对的点的西姆森线是对应的边。 如果 T_1T_2T_3 是外接圆上的点 T 的西姆森线，则三角形 TT_1T_2 和 TA_2A_1 直接相似。

Simson line deltoid

三角形西姆森线的包络线是三角尖瓣线 (Butchart 1939; Wells 1991, pp. 155 和 230)。 三角尖瓣线的面积是外接圆面积的一半 (Wells 1991, p. 230)，并且起始三角形的第一 Morley 三角形与三角尖瓣线具有相同的方向。 三角形的每条边都与三角尖瓣线相切于一点，该点到边中点的距离等于该边截得的九点圆的弦 (Wells 1991, p. 231)。 如果线 L 是外接圆上的点 P 的西姆森线，则 P 称为 L 的西姆森线极点 (Honsberger 1995, p. 128)。

参考三角形的高是西姆森线，其西姆森线极点是参考三角形的顶点。 此外，参考三角形的边也是西姆森线，其西姆森线极点是参考三角形顶点关于其外心的反射。 另请注意，来自这些反射顶点的非平凡垂足与参考三角形的边相交于Steiner 三角尖瓣线的切点。

另请参阅

外接圆, Rigby 点, 西姆森线极点, Steiner 三角尖瓣线

此条目部分内容由 Frank Jackson 贡献

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参考文献

Baker, H. F. An Introduction to Plane Geometry. London: Cambridge University Press, 1963.Butchart, J. H. "The Deltoid Regarded as the Envelope of Simson Lines." Amer. Math. Monthly 46, 85-86, 1939.Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 164, 1888.Chou, S.-C. "Proving Elementary Geometry Theorems Using Wu's Algorithm." Contemporary Math. 29, 243-286, 1984.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 49, 1971.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Simson Lines" and "More on Simson Lines." §2.5 and 2.7 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 40-41 and 43-45, 1967.de Guzmán, M. "An Extension of the Wallace-Simson Theorem: Projecting in Arbitrary Directions." Amer. Math. Monthly 106, 574-580, 1999.Dörrie, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, 1965.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 46-48, 1928.F. Gabriel-Marie. Exercices de Géométrie. Tours, France: Maison Mame, p. 329, 1912.Gallatly, W. "The Simson Line." Ch. 4 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 24-36, 1913.Honsberger, R. "The Simson Line" and "Simson Lines." §5.2 and 8.4 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 43-44 and 82-83, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 137-139, 1929.Patterson, B. C. "The Triangle: Its Deltoids and Foliates." Amer. Math. Monthly 47, 11-18, 1940.Ramler, O. J. "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle." Amer. Math. Monthly 37, 130-136, 1930.van Horn, C. E. "The Simson Quartic of a Triangle." Amer. Math. Monthly 45, 434-437, 1938.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 155 and 230-231, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中引用

西姆森线

引用为

Jackson, Frank 和 Weisstein, Eric W. "Simson Line." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SimsonLine.html

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