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Engel 展开

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正实数 x 的 Engel 展开，也称为埃及乘积，是正整数 a_i 的唯一递增序列 {a_1,a_2,...}，使得

x=1/(a_1)+1/(a_1a_2)+1/(a_1a_2a_3)+....

下表给出了 Catalan 常数、e、Euler-Mascheroni 常数 gamma、pi 和 黄金比例 phi 的 Engel 展开。

常数OEISEngel 展开
sqrt(2)A0282541, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, ...
sqrt(3)A0282571, 2, 3, 3, 6, 17, 23, 25, 27, 73, ...
cosh1A1182391, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, ...
eA0000271, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
e^(-1)A0591933, 10, 28, 54, 88, 130, 180, 238, 304, 378, ...
gammaA0539772, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, ...
KA0545432, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 12, 13, 41, 110, ...
ln2A0591802, 3, 7, 9, 104, 510, 1413, 2386, ...
phiA0282591, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, ...
piA0067841, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...
pi^(-1)A0140124, 4, 11, 45, 70, 1111, 4423, 5478, 49340, ...
sinh1A0683771, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, ...
tanh1A1183262, 2, 22, 50, 70, 29091, 49606, 174594, ...

e 有一个非常规则的 Engel 展开，即 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... (OEIS A000027)。有趣的是，双曲正弦 sinh1 的展开式具有闭合形式 a_n=2(n-1)(2n-1)，对于 n>1，这意味着 双曲余弦 cosh1 的展开式具有闭合形式 a_n=2(n-1)(2n-3)，对于 n>1。类似地，1/e 的 Engel 展开是 a_n=2(2n+1)(n-1)，对于 n>1，这源于

e^(-1)=sum_(n=1)^infty[1/((2n)!)-1/((2n+1)!)].

另请参阅

连分数, 埃及分数, Pierce 展开

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参考文献

Engel, F. "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen." Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. pp. 190-191, 1913.Erdős, P. 和 Shallit, J. O. "New Bounds on the Length of Finite Pierce and Engel Series." Sem. Theor. Nombres Bordeaux 3, 43-53, 1991.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 53-59, 2003.Schweiger, F. Ergodic Theory of Fibred Systems and Metric Number Theory. Oxford, England: Oxford University Press, 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A000027/M0472, A006784/M4475, A014012, A028254, A028257, A028259, A053977, A054543, A059180, A059193, A068377, A118239, 和 A118326 在 "整数序列在线百科全书" 中。Wu, J. "How Many Points Have the Same Engel and Sylvester Expansions?." J. Number Th. 103, 16-26, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Engel 展开

请这样引用

Weisstein, Eric W. "Engel 展开。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EngelExpansion.html

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