代数数

如果 是一个非零 多项式方程 的根

(1)

其中 s 是整数（或等价地，有理数），并且 不满足任何类似次数小于 的方程，那么 被称为次数为 的代数数。

不是代数数的数被称为超越数。如果 是一个代数数且 , 那么它被称为一个代数整数。

任何代数数都是一个代数周期，如果一个数不是一个代数周期，那么它是一个超越数 (Waldschmidt 2006)。注意在这两个陈述之间存在一个“ gap”，因为代数周期可能是代数的或超越的。

一般来说，代数数是复数，但它们也可能是实数。一个复代数数的例子是 ，一个实代数数的例子是 ，它们都是 2 次的。

代数数的集合表示为 (Wolfram 语言)，或者有时为 (Nesterenko 1999)，并在 Wolfram 语言 中实现为Algebraics.

然后可以使用命令在 Wolfram 语言 中测试一个数 是否为代数数Element[x, Algebraics]. 代数数在 Wolfram 语言 中表示为索引多项式根，符号为Root[f, n]，其中 是从 1 到多项式次数的数字（表示为所谓的“纯函数”） 。

下表总结了一些重要的代数数及其次数的示例。

常数	次数
康威常数	71
提洛岛常数	3
圆盘覆盖问题	8
弗雷曼常数	2
黄金比例	2
黄金比例共轭	2
格拉汉姆最大小六边形 面积	10
硬六边形熵常数	24
七阶斐波那契常数	7
六阶斐波那契常数	6
i	2
李勃方冰常数	2
Logistic 映射 3-周期开始	2
Logistic 映射 4-周期开始	2
Logistic 映射 5-周期开始	22
Logistic 映射 6-周期开始	40
Logistic 映射 7-周期开始	114
Logistic 映射 8-周期开始	12
Logistic 映射 16-周期开始	240
五阶斐波那契常数	5
塑性常数	3
毕达哥拉斯常数	2
白银常数	3
白银比例	2
四阶斐波那契常数	4
忒奥多罗斯常数	2
三阶斐波那契常数	3
二十顶点熵常数	2
沃利斯常数	3

如果在以上方程中，s 不是整数，而是代数数 ，那么任何

(2)

的根都是代数数。

如果 是次数为 的代数数，满足多项式方程

(3)

那么还有 个其他的代数数 ，，... 称为 的共轭。此外，如果 满足任何其他代数方程，那么它的共轭也满足相同的方程 (Conway and Guy 1996)。