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拉马努金连分数

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拉马努金发展了许多有趣的 闭合形式 表达式，用于 广义连分数。 这些包括 几乎是整数 的表达式

1/(1+)(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+...)=(sqrt((5+sqrt(5))/2)-(sqrt(5)+1)/2)e^(2pi/5)
(1)
=e^(2pi/5)(sqrt(phisqrt(5))-phi)
(2)
=0.9981360...
(3)

(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), 其中 phi 是 黄金比例，其乘法逆元

1+(e^(-2pi))/(1+)(e^(-4pi))/(1+)(e^(-6pi))/(1+...)=1/2[1+sqrt(5)+sqrt(2(5+sqrt(5)))]e^(-2pi/5)
(4)
=(e^(-2pi/5))/(sqrt(phisqrt(5))-phi)
(5)
=1.0018674...
(6)

(OEIS A091899; Ramanathan 1984), 以及

1/(1+)(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...)={(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))
(7)
=0.99999920...
(8)

(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) 及其乘法逆元

1+(e^(-2pisqrt(5)))/(1+)(e^(-4pisqrt(5)))/(1+...)=(e^(-2pi/5))/((sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)]^(1/5))-phi)
(9)
=1.000000791267...
(10)

(OEIS A091900).

其他例子包括积分

4int_0^infty(xe^(-xsqrt(5)))/(coshx)dx=1/2[zeta(2,1/4(1+sqrt(5)))-zeta(2,1/4(3+sqrt(5))]
(11)
=1/2[psi_1(1/4(1+sqrt(5)))-psi_1(1/4(3+sqrt(5)))]
(12)
=1/(1+)(1^2)/(1+)(1^2)/(1+)(2^2)/(1+)(2^2)/(1+)(3^2)/(1+)(3^2)/(1+)...
(13)
=0.5683000...
(14)

(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), 其中 zeta(a,z) 是 赫尔维茨 zeta 函数，而 psi_1(z) 是 三伽玛函数，以及

2int_0^infty(x^2e^(-xsqrt(3)))/(sinhx)dx=-1/2psi_2(1/2(1+sqrt(3)))
(15)
=1/(1+)(1^3)/(1+)(1^3)/(3+)(2^3)/(1+)(2^3)/(5+)(3^3)/(1+)(3^3)/(7+)...
(16)
=0.5269391...
(17)

(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), 其中 psi_2(z) 是 多伽玛函数。

参见

连分数常数, 广义连分数, 罗杰斯-拉马努金连分数

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参考文献

Berndt, B. C. and Rankin, R. A. 拉马努金：书信与评论。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生活和工作主题的十二讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Perron, O. "关于普里策舍恩链式分数。" Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.Preece, C. T. "拉马努金陈述的定理 (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.Ramanathan, K. G. "关于拉马努金的连分数." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.Sloane, N. J. A. 序列 A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, 和 A091900 在 "整数序列在线百科全书" 中。Watson, G. N. "拉马努金陈述的定理 (VII): 关于连分数的定理." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.Watson, G. N. "拉马努金陈述的定理 (IX): 两个连分数." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉马努金连分数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "拉马努金连分数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RamanujanContinuedFractions.html

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