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均匀分布序列

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一个 实数 序列 {x_n} 在一个 区间 [a,b] 上是均匀分布的，如果找到 x_n 在任何子区间中的概率与子区间的长度成正比。均匀分布序列的点在区间 [a,b] 上形成一个 稠密 集。

EquidistributedFracLn

然而，稠密集不一定都是均匀分布的。例如，{frac(lnn)}_n，其中 frac(x) 是 分数部分，在 [0,1] 中是 稠密 的，但不是均匀分布的，如上图所示，对于 n=1 到 5000（左）和 n=1 到 10^4（右）

Hardy 和 Littlewood (1914) 证明了 幂分数部分 的序列 {frac(x^n)}_n 对于几乎所有实数 x>1 是均匀分布的（即，例外集的 勒贝格 测度为零）。例外数包括正整数、白银比 1+sqrt(2) (Finch 2003) 和 黄金比例 phi。

EquidistributedFracs
EquidistributedHistograms

上面图表的顶部集合显示了 {frac(kx)}_(k=0)^(10) 对于 x 等于 e，欧拉-马歇罗尼常数 gamma，黄金比例 phi 和 pi 的值。类似地，下面图表的底部集合显示了这些常数的 {frac(kx)}_(k=0)^(10000) 分布的直方图。请注意，虽然大多数都稳定到均匀分布，但 pi 在 10000 次迭代后似乎呈现不均匀分布。Steinhaus (1999) 评论说，frac(nphi) 的高度均匀分布根植于 连分数 的形式，用于 phi。

现在考虑 {frac(kx)}_(k=0)^n 在由 0、1/n、2/n、...、(n-1)/n、1 确定的区间界定的区间中，对于 n=1, 2, ... 的空区间数量，总结如下，针对之前考虑的常数。

rSloanen=1, 2, ... 的空区间数量 n=1, 2, ...
eA0364120, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 7, 5, ...
gammaA0461570, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 3, ...
phiA0364140, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ...
piA0364160, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, ...

下表给出了没有留下空箱的 n 值。

rSloane没有空区间的 n 值 n
eA0364131, 2, 3, 4, 6, 7, 32, 35, 39, 71, 465, 536, 1001, ...
gammaA0461581, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 19, 26, 97, 123, 149, 272, 395, ...
phiA0364151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ...
piA0364171, 6, 7, 106, 112, 113, 33102, 33215, ...

另请参阅

稠密, Kronecker-Weyl 定理, 正规数, 幂分数部分, Pisot 数, 均匀分布, van der Corput 定理, Weyl 判据

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参考文献

Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "丢番图逼近的一些问题。" Acta Math. 37, 193-239, 1914.Kuipers, L. and Niederreiter, H. 序列的均匀分布。 New York: Wiley, 1974.Pólya, G. and Szegö, G. 分析 I 中的问题和定理。 New York: Springer-Verlag, p. 88, 1972.Sloane, N. J. A. 序列 A036412, A036413, A036414, A036415, A036416, A036417, A046157, 和 A046158 in "整数序列在线百科全书"。Vardi, I. Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 155-156, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

均匀分布序列

请引用为

韦斯坦, 埃里克 W. "均匀分布序列。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EquidistributedSequence.html

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