均匀分布序列 -- 来自

一个实数序列 ${x_n}$ 在一个区间上是均匀分布的，如果找到在任何子区间中的概率与子区间的长度成正比。均匀分布序列的点在区间上形成一个稠密集。

然而，稠密集不一定都是均匀分布的。例如， ${frac(lnn)}_n$ ，其中 $frac(x)$ 是分数部分，在中是稠密的，但不是均匀分布的，如上图所示，对于到 5000（左）和到（右）

Hardy 和 Littlewood (1914) 证明了幂分数部分的序列 ${frac(x^n)}_n$ 对于几乎所有实数是均匀分布的（即，例外集的勒贝格测度为零）。例外数包括正整数、白银比 (Finch 2003) 和黄金比例。

上面图表的顶部集合显示了 ${frac(kx)}_(k=0)^(10)$ 对于等于 e，欧拉-马歇罗尼常数，黄金比例和 pi 的值。类似地，下面图表的底部集合显示了这些常数的 ${frac(kx)}_(k=0)^(10000)$ 分布的直方图。请注意，虽然大多数都稳定到均匀分布，但在次迭代后似乎呈现不均匀分布。Steinhaus (1999) 评论说， $frac(nphi)$ 的高度均匀分布根植于连分数的形式，用于。

现在考虑 ${frac(kx)}_(k=0)^n$ 在由 0、、、...、、1 确定的区间界定的区间中，对于 , 2, ... 的空区间数量，总结如下，针对之前考虑的常数。

	Sloane	n=1, 2, ... 的空区间数量 , 2, ...
	A036412	0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 7, 5, ...
	A046157	0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 3, ...
	A036414	0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ...
	A036416	0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, ...

下表给出了没有留下空箱的值。

	Sloane	没有空区间的 n 值
	A036413	1, 2, 3, 4, 6, 7, 32, 35, 39, 71, 465, 536, 1001, ...
	A046158	1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 19, 26, 97, 123, 149, 272, 395, ...
	A036415	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ...
	A036417	1, 6, 7, 106, 112, 113, 33102, 33215, ...