幂的分数部分

哈代和李特尔伍德 (1914) 证明了序列 ${frac(x^n)}$ ，其中 $frac(x)$ 是分数部分，对于几乎所有实数都是等分布的（即，例外集具有勒贝格测度零）。例外数字包括正整数、白银比 (Finch 2003) 和黄金比。上面的图说明了 $frac(x^n)$ 对于、、和的分布。测度为 1 的集合的候选成员很容易找到，但很难证明。然而，列文明确地构建了这样一个例子 (Drmota and Tichy 1997)。

对于有理数，最简单的此类序列 ${frac((3/2)^n)}$ 的性质已被广泛研究 (Finch 2003)。前几项是 0, 1/2, 1/4, 3/8, 1/16, 19/32, 25/64, 11/128, 161/256, 227/512, ... (OEIS A002380 和 A000079; Pillai 1936; Lehmer 1941)，如上图所示 (Wolfram 2002, pp. 121-122)。例如， ${frac((3/2)^n)}$ 在和中都有无限个累积点 (Pisot 1938, Vijayaraghavan 1941)。此外，Flatto等人。(1995) 证明，[0,1] 的任何子区间，如果包含 $frac((3/2)^n)$ 的所有累积点，至多除去有限个，则其长度必须至少为 1/3。令人惊讶的是，序列 ${frac((3/2)^n)}$ 也与考拉兹猜想和华林问题有关。

形如 $frac((3/2)^n)$ 的数字，其中 $frac(x)$ 是分数部分，出现在华林问题中。特别是，如果满足不等式，华林问题可以完全解决

$frac[(3/2)^n]<=1-(3/4)^n$

成立。尚未发现此不等式的反例，甚至有人认为它可以扩展到

$(3/4)^n<frac[(3/2)^n]<1-(3/4)^n$

对于 (Bennett 1993, 1994; Finch 2003)。此外，常数 3/4 可以减小到 0.5769 (Beukers 1981, Dubitskas 1990)。遗憾的是，这些不等式尚未得到证明。

另请参阅

分数部分, 幂, 幂的底

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参考文献

Bennett, M. A. "Fractional Parts of Powers of Rational Numbers." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114, 191-201, 1993.Bennett, M. A. "An Ideal Waring Problem with Restricted Summands." Acta Arith. 66, 125-132, 1994.Beukers, F. "Fractional Parts of Powers of Rational Numbers." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 90, 13-20, 1981.Drmota, M. and Tichy, R. F. Sequences, Discrepancies and Applications. New York: Springer-Verlag, 1997.Dubitskas, A. K. "A Lower Bound for the Quantity ${(3/2)^n}$ ." Russian Math. Survey 45, 163-164, 1990.Finch, S. R. "Powers of 3/2 Modulo One." §2.30.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 194-199, 2003.Flatto, L.; Lagarias, J. C.; Pollington, A. D. "On the Range of Fractional Parts ${xi(p/q)^n}$ ." Acta Arith. 70, 125-147, 1995.Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of Diophantine Approximation." Acta Math. 37, 193-239, 1914.Lehmer, D. H. Guide to Tables in the Theory of Numbers. Bulletin No. 105. Washington, DC: National Research Council, p. 82, 1941.Pillai, S. S. "On Waring's Problem." J. Indian Math. Soc. 2, 16-44, 1936.Pisot, C. "La répartition modulo 1 et les nombres algébriques." Annali di Pisa 7, 205-248, 1938.Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129 and A002380/M2235 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vijayaraghavan, T. "On the Fractional Parts of the Powers of a Number (I)." J. London Math. Soc. 15, 159-160, 1940.Vijayaraghavan, T. "On the Fractional Parts of the Powers of a Number (II)." Proc. Cambridge Phil. Soc. 37, 349-357, 1941.Vijayaraghavan, T. "On the Fractional Parts of the Powers of a Number (III)." J. London Math. Soc. 17, 137-138, 1942.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 121-122, 2002.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

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韦斯坦因，埃里克·W. "幂的分数部分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PowerFractionalParts.html

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