雅可比矩阵 -- 来自 Wolfram MathWorld

雅可比矩阵

给定一组的个方程，包含个变量 , ..., ，显式地写成

(1)

或更显式地写成

${y_1=f_1(x_1,...,x_n); |; y_n=f_n(x_1,...,x_n),$

(2)

雅可比矩阵，有时简称为“雅可比行列式”（Simon and Blume 1994）定义为

J(x_1,...,x_n)=[(partialy_1)/(partialx_1) ... (partialy_1)/(partialx_n); | ... |; (partialy_n)/(partialx_1) ... (partialy_n)/(partialx_n)].

(3)

行列式是雅可比行列式（容易混淆，也常称为“雅可比行列式”），并表示为

(4)

雅可比矩阵和行列式可以使用 Wolfram 语言计算

  JacobianMatrix[f_List?VectorQ, x_List] := Outer[D, f, x]
  JacobianDeterminant[f_List?VectorQ, x_List] := Det[JacobianMatrix[f, x]]

取微分

(5)

表明是行列式矩阵的行列式，因此给出了维体积（内容）在和中的比率，

(6)

因此，例如，它出现在变量替换定理中。

雅可比矩阵的概念也可以应用于多于个变量的个函数。例如，考虑和，雅可比矩阵

			(7)
			(8)

可以被定义 (Kaplan 1984, p. 99)。

对于变量的情况，雅可比矩阵具有特殊形式

(9)

其中是点积，是叉积，可以展开得到

|(partial(y_1,y_2,y_3))/(partial(x_1,x_2,x_3))|=|(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) (partialy_1)/(partialx_3); (partialy_2)/(partialx_1) (partialy_2)/(partialx_2) (partialy_2)/(partialx_3); (partialy_3)/(partialx_1) (partialy_3)/(partialx_2) (partialy_3)/(partialx_3)|.

(10)

参考文献

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Jacobian Determinant." §14.313 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1068-1069, 2000.

Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 98-99, 123, and 238-245, 1984.

Simon, C. P. and Blume, L. E. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton, 1994.

雅可比矩阵

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参考文献

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