克莱因瓶

克莱因瓶是一个闭合的不可定向曲面，其欧拉示性数为 0（Dodson 和 Parker 1997，第 125 页），它没有内部或外部，最初由费利克斯·克莱因描述（希尔伯特和科恩-福森 1999，第 308 页）。它可以通过将矩形的相对边两两粘合在一起，其中一对边进行半扭转来构造，但只能在四维空间中物理实现，因为它必须在没有孔的情况下穿过自身。它的拓扑结构等价于一对边界重合的交叉帽（Francis 和 Weeks 1999）。它可以用正方形的边以右图所示的方向连接来表示（Gardner 1984，第 15-17 页；Gray 1997，第 323-324 页）。

它可以沿长度方向切成两半，变成两个莫比乌斯带（Dodson 和 Parker 1997，第 88 页），但也可以切成单个莫比乌斯带（Gardner 1984，第 14 页和第 17 页）。

上图是克莱因瓶在 （三维空间）中的浸入。还有另一种可能的浸入，称为“8 字形”浸入（Apéry 1987，Gray 1997，Geometry Center）。虽然 Gray (1997) 使用8 字曲线（又名热尔贡的双纽线）描述了这种嵌入，但它也可以使用通常的（伯努利）双纽线来构造（Pinkall 1985，Apéry 1987）。

通常浸入的方程由隐式方程给出

(1)

（Stewart 1991）。Nordstrand 给出了参数形式

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克莱因瓶的“8 字形”形式是通过将 8 字形绕轴旋转并在其中放置一个扭曲而获得的，由参数方程给出

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对于 , , 和 (Gray 1997)。

以原点为中心的环面的交叉帽映射的图像是克莱因瓶（Gray 1997，第 339 页）。莫比乌斯短裤在拓扑上等价于带孔的克莱因瓶（Gramain 1984，Stewart 2000）。

克莱因瓶上的任何区域集合都可以仅使用六种颜色着色（Franklin 1934，Saaty 和 Kainen 1986），这是对希伍德猜想的唯一例外（Bondy 和 Murty 1976，第 244 页）。12 顶点图（顶部图）在克莱因瓶上的嵌入（底部图）将其划分为区域，该区域具有使用六种颜色进行最小着色的，被称为富兰克林图。