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楔积

楔积是外代数中的积。如果 alpha 和 beta 分别是度数为 p 和 q 的微分 k-形式，则

alpha ^ beta=(-1)^(pq)beta ^ alpha.
(1)

它（通常）不是交换的，但它是结合的，

(alpha ^ beta) ^ u=alpha ^ (beta ^ u),
(2)

并且是双线性的

(c_1alpha_1+c_2alpha_2) ^ beta=c_1(alpha_1 ^ beta)+c_2(alpha_2 ^ beta)
(3)
alpha ^ (c_1beta_1+c_2beta_2)=c_1(alpha ^ beta_1)+c_2(alpha ^ beta_2)
(4)

（Spivak 1999, p. 203），其中 c_1 和 c_2 是常数。外代数由度数为 1 的元素生成，因此可以使用 e_i 在 V 中的基定义楔积

(e_(i_1) ^ ... ^ e_(i_p)) ^ (e_(j_1) ^ ... ^ e_(j_q))=e_(i_1) ^ ... ^ e_(i_p) ^ e_(j_1) ^ ... ^ e_(j_q)
(5)

当索引 i_1,...,i_p,j_1,...,j_q 不同时，乘积为零，否则为零。

虽然当 alpha 的度数为 1 时公式 alpha ^ alpha=0 成立，但它通常不成立。例如，考虑 alpha=e_1 ^ e_2+e_3 ^ e_4

alpha ^ alpha=(e_1 ^ e_2) ^ (e_1 ^ e_2)+(e_1 ^ e_2) ^ (e_3 ^ e_4)+(e_3 ^ e_4) ^ (e_1 ^ e_2)+(e_3 ^ e_4) ^ (e_3 ^ e_4)
(6)
=0+e_1 ^ e_2 ^ e_3 ^ e_4+e_3 ^ e_4 ^ e_1 ^ e_2+0
(7)
=2e_1 ^ e_2 ^ e_3 ^ e_4
(8)

如果 alpha_1,...,alpha_k 的度数为 1，那么它们线性独立当且仅当 alpha_1 ^ ... ^ alpha_k!=0。

楔积是计算体积元素时使用的“正确”类型的积

dV=dx_1 ^ ... ^ dx_n.
(9)

因此，楔积可以用于计算平行多面体的行列式和体积。例如，写成 detA=det(c_1,...,c_n) 其中 c_i 是 A 的列。则

c_1 ^ ... ^ c_n=det(c_1,...,c_n)e_1 ^ ... ^ e_n
(10)

并且 |det(c_1,...,c_n)| 是由 c_1,...,c_n 张成的平行多面体的体积。

另请参阅

上同调, 杯积, 行列式, 微分 k-形式, 外代数, 外微分, 外幂, 内积, 模张量积, 向量空间, 体积, 体积元素

此条目由 Todd Rowland 贡献

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参考文献

Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 1 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979a.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 2 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1990a.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 3 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1990b.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 4 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979b.Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 第 5 卷, 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1979c.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

楔积

如此引用

罗兰, 托德。“楔积。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/WedgeProduct.html

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