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帕普斯重心定理

PappussCentroidTheorem

帕普斯的第一定理指出，一个曲线绕外部轴旋转生成的旋转曲面的表面积 S 等于生成曲线的弧长 s 与曲线的几何重心 x^_移动的距离 d_1 的乘积，

S=sd_1=2pisx^_

（Kern 和 Bland 1948, pp. 110-111）。下表总结了使用帕普斯重心定理计算的各种旋转曲面的表面积。

立体生成曲线sx^_S
圆锥倾斜线段sqrt(r^2+h^2)1/2rpirsqrt(r^2+h^2)
圆柱平行线段hr2pirh
球体半圆pir(2r)/pi4pir^2
PappussCentroidTheorem2

类似地，帕普斯的第二定理指出，一个薄片绕外部轴旋转生成的旋转体的体积 V 等于薄片的面积 A 与薄片的几何重心 x^_移动的距离 d_2 的乘积，

V=Ad_2=2piAx^_

（Kern 和 Bland 1948, pp. 110-111）。下表总结了使用帕普斯重心定理计算的各种旋转体和旋转曲面的表面积和体积。

立体生成薄片Ax^_V
圆锥直角三角形1/2hr1/3r1/3pir^2h
圆柱矩形hr1/2rpir^2h
球体半圆1/2pir^2(4r)/(3pi)4/3pir^3

参见

横截面, 几何重心, 帕普斯链, 帕普斯调和定理, 帕普斯六边形定理, 周长, 旋转体, 表面积, 旋转曲面, 环面, 圆环

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 132, 1987.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "古尔丁规则。" §4.1.3 in 数学和计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, p. 96, 1998.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. "帕普斯定理。" §40 in 附证明的立体测量，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 110-115, 1948.

在 Wolfram|Alpha 上引用

帕普斯重心定理

引用为

Weisstein, Eric W. "帕普斯重心定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PappussCentroidTheorem.html

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