交叉帽

单侧曲面的自相交。“cross-cap”一词有时也写成不带连字符的单词“crosscap”。交叉帽可以被认为是这样的物体：在一个曲面上穿孔一次，在孔周围以相同方向连接两条拉链，扭曲这个孔使拉链对齐，需要曲面自身相交，然后再拉上拉链。交叉帽也可以被描述为一个圆形孔洞，当进入时，会从其对立点出来（从拓扑学的角度来看，交叉帽上的两个奇点是等价的）。

交叉帽有一段双重点，终止于两个“pinch point（捏点/尖点）”。一个交叉柄与两个交叉帽是同胚的（Francis and Weeks 1999）。

带有一个交叉帽的球面传统上被称为实射影平面。虽然这在存在仿射结构的射影几何研究中是合适的，但 J. H. Conway 提倡在纯粹的拓扑解释中使用术语交叉曲面（Francis and Weeks 1999）。交叉帽是通过将莫比乌斯带缝合到圆盘边缘而获得的三种可能的曲面之一。另外两个是博伊曲面和罗马曲面。

具有重合边界的两个交叉帽的球面在拓扑上等价于克莱因瓶（Francis and Weeks 1999）。具有三个交叉帽的曲面被称为戴克曲面（Dyck's surface）（Francis and Collins 1993，Francis and Weeks 1999）。

交叉帽可以使用非可定向曲面的一般方法，使用多项式函数生成

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(Pinkall 1986)。变换到球坐标系得到

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对于 和 。为了使方程稍微简单一些，通常将所有三个方程乘以因子 2 以消除任意比例常数。上面显示了使用此方程生成的交叉帽的三个视图。请注意，中间那个看起来非常像 Bour 的极小曲面。

另一种表示是

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(Gray 1997)，给出参数方程

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(Geometry Center) 其中，出于美观原因，- 和 -坐标已乘以 2，以产生一个压缩但拓扑等价的曲面。因此，它是由下式给出的四次曲面

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在这种参数化中，曲面所围成的体积是

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对于具有均匀密度 和质量 的实体的惯性张量由下式给出

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对交叉帽进行反演，使得 (0, 0, ) 被映射到 ，得到普吕克锥面（Plücker's conoid），如上所示（Pinkall 1986）。