张量

一个 阶张量在 维空间中是一个数学对象，它有 个指标和 个分量，并服从特定的变换规则。张量的每个指标的范围都覆盖空间的维度数。然而，在大多数张量方程中，空间的维度在很大程度上是不相关的（但收缩克罗内克 delta 是一个值得注意的例外）。张量是将标量（没有指标）、向量（有恰好一个指标）和矩阵（有恰好两个指标）推广到任意数量指标的概念。

张量为物理学领域（如弹性力学、流体力学和广义相对论）中问题的公式化和求解提供了一个自然而简洁的数学框架。

张量的符号表示类似于矩阵（即，），只是张量 , , 等可以有任意数量的指标。此外，秩为 的张量可以是混合类型 ，由 个所谓的“逆变”（上标）指标和 个“协变”（下标）指标组成。请注意，逆变和协变指标放置的槽位位置非常重要，因此，例如， 与 是不同的。

虽然对于一般张量必须区分协变和逆变指标，但在三维欧几里得空间中的张量，两者是等价的，这样的张量被称为笛卡尔张量。

变换方式类似于零阶张量的对象称为标量，变换方式类似于一阶张量的对象称为向量，变换方式类似于二阶张量的对象称为矩阵。在张量表示法中，向量 将被写成 ，其中 , ..., ，而矩阵是 类型的张量，在张量表示法中将被写成 。

张量可以与其他张量（例如度量张量、排列张量或克罗内克 delta）或张量算符（例如协变导数）进行运算。操纵张量指标以产生恒等式或简化表达式被称为指标体操，其中包括降指标和升指标作为特例。这些可以通过乘以所谓的度量张量 , , 等来实现，例如：

			(1)
			(2)

(Arfken 1985, 第159页).

张量表示法可以提供一种非常简洁的方式来书写向量和更一般的恒等式。例如，在张量表示法中，点积 可以简单地写成

(3)

其中重复的指标被求和（爱因斯坦求和）。类似地，叉积可以简洁地写成

(4)

其中 是排列张量。

逆变二阶张量是变换如下的对象

(5)

协变二阶张量是变换如下的对象

(6)

混合二阶张量是变换如下的对象

(7)

如果两个张量 和 具有相同的秩和相同的协变和逆变指标，那么它们可以以显而易见的方式相加，

			(8)
			(9)
			(10)

点积应用于张量的推广称为张量缩并，它包括将两个不同类型的指标设置为彼此相等，然后使用爱因斯坦求和约定进行求和。可以对张量进行各种类型的求导，最常见的是逗号导数和协变导数。

如果任何张量秩的任何张量的分量在一个特定的坐标系中消失，那么它们在所有坐标系中都消失。张量的变量变换将张量变为另一个张量，其分量是原始张量分量的线性齐次函数。

类型为 的张量空间可以描述为 份向量场和 份对偶向量场（即，1-形式）之间的向量空间张量积。例如，

(11)

是-张量在流形 上的向量丛，其中 是 的切丛， 是它的对偶。类型为 的张量构成一个向量空间。这种描述推广到任何张量类型，并且可逆线性映射 诱导一个映射 ，其中 是对偶向量空间， 是雅可比矩阵，定义为

(12)

其中 是形式的拉回映射，使用雅可比矩阵的转置定义。此定义可以类似地扩展到 和 的其他张量积。当坐标发生变化时，张量也类似地变换，其中 是线性变换的雅可比矩阵。