点积

点积可以定义为两个向量 和 的

(1)

其中 是向量之间的角，|X| 是范数。由此立即得出，如果 垂直于 垂直于 ，则 。因此，点积的几何解释为当两个向量被放置使其尾部重合时， 在单位向量 上的投影的长度。

通过写作

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由此得出 (1) 产生

			(4)
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			(6)
			(7)

所以，一般来说，

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			(9)

这可以使用爱因斯坦求和约定非常简洁地写成

(10)

点积在 Wolfram 语言中实现为Dot[a, b]，或者简单地使用句点，a . b。

点积是可交换的

(11)

和可分配的

(12)

结合律对于点积没有意义，因为 未定义，因为 是一个标量，因此它本身不能进行点积运算。然而，它确实满足以下性质

(13)

对于标量 。

向量点积的导数是

(14)

点积在旋转下是不变的

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			(18)
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其中使用了爱因斯坦求和约定。

点积也称为标量积和内积。在后一种上下文中，通常写成 。点积也为张量 和 定义为

(21)

因此对于四向量 和 ，它定义为

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			(23)
			(24)

其中 是通常的三维点积。