向量丛

向量丛是 纤维丛 的一个特殊类别，其中 纤维 是一个 向量空间 。从技术上讲，还需要更多条件；即，如果 是一个 丛，其 纤维 为 ，要成为向量丛，对于 的所有 纤维 都需要具有一致的 向量空间 结构。 一种表达方式是，“平凡化” 是 纤维 到 纤维 的 向量空间 同构。

向量丛是一个 全空间 ，以及到基流形 的 满射 映射 。 任何 纤维 都 同构于 的 向量空间。

最简单的非平凡向量丛是圆上的 线丛，它类似于 莫比乌斯带。

向量丛的一个用途是 向量函数 的推广。 例如， 维流形的切向量在 坐标图 中的点 处与 同构。 但是与 的同构取决于 坐标图 的选择。 在 附近，向量场看起来像函数。 为了在整个流形上定义向量场，需要 切丛，它是向量丛的一个特例。

向量丛 的 丛截面 是一个映射 ，其投影 是 上的恒等映射。 例如，在 平凡丛 上，截面 对应于函数 ，通过 。

在向量丛中的每个点附近，都有一个 平凡化。 与所有 丛 一样，向量丛的结构是 局部 平凡 的。 在向量丛的情况下，平凡化之间的 转移函数 取值于纤维的线性可逆变换。

由于 中的零元素被任何线性变换固定，因此零截面始终存在。 “非平凡截面”是指它不是零截面。

有几个形容词可以指定向量丛的属性。 复向量丛 具有作为 复向量空间 的纤维 。 实向量丛 具有作为实 向量空间 的纤维，这是默认类型的向量丛。 线丛 具有一维纤维。

连续向量丛 是具有 连续 投影映射 的流形 。 光滑向量丛 是具有光滑投影 的光滑流形 。 最后，全纯向量丛 是具有 全纯 投影 的 复流形 。 在最后一种情况下，纤维必须是复向量空间。 因此，可能存在光滑复向量丛，但不存在全纯实向量丛。

向量丛可以在其纤维上具有度量，无论是 黎曼 度量还是 埃尔米特 度量，以及 向量丛联络。