向量空间

向量空间 是一个在有限向量加法和标量乘法下封闭的集合。基本例子是 -维欧几里得空间 ，其中每个元素都由 n 个 实数列表表示，标量是实数，加法是按分量进行的，标量乘法是对每个项分别进行的乘法。

对于一般的向量空间，标量是域 的成员，在这种情况下， 称为域 上的向量空间。

欧几里得 -空间 称为实向量空间，而 称为复向量空间。

为了使 成为向量空间，对于所有元素 以及任何标量 ，以下条件必须成立：

1. 交换律

(1)

2. 向量加法的结合律

(2)

3. 加法单位元：对于所有 ，

(3)

4. 加法逆元的存在性：对于任何 ，存在一个 使得

(4)

5. 标量乘法的结合律

(5)

6. 标量和的分配律

(6)

7. 向量和的分配律

(7)

8. 标量乘法单位元

(8)

设 是维度为 的向量空间，其定义在具有 个元素的域上（其中 必然是素数的幂）。那么 上的非奇异线性算子的数量是

			(9)
			(10)

并且 的 -维子空间的数量是

			(11)
			(12)
			(13)

其中 是一个 q-Pochhammer 符号。

选择公理的一个推论是每个向量空间都有一个向量基。

模在抽象上类似于向量空间，但它使用环来定义系数，而不是向量空间使用的域。模在更一般的代数对象中具有系数。