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对称张量

二阶-张量阶数对称张量 被定义为 张量 A，满足：

A^(mn)=A^(nm).
(1)

任何张量 都可以写成对称和反对称部分之和

A^(mn)=1/2(A^(mn)+A^(nm))+1/2(A^(mn)-A^(nm))
(2)
=1/2(B_S^(mn)+B_A^(mn)).
(3)

张量的对称部分 用括号表示为

T_((a,b))=1/2(T_(ab)+T_(ba))
(4)
T_((a_1,a_2,...,a_n))=1/(n!)sum_(permutations)T_(a_1a_2...a_n).
(5)

张量的对称和反对称部分的符号可以组合，例如

T^((ab)c)_([de])=1/4(T^(abc)_(de)+T^(bac)_(de)-T^(abc)_(ed)-T^(bac)_(ed)).
(6)

(Wald 1984, p. 26).

对称张量和反对称张量的乘积为 0。这可以如下看出。令 a^(alphabeta) 是反对称的，所以

a^(11)=a^(22)=0
(7)
a^(21)=-a^(12).
(8)

令 b_(alphabeta) 是对称的，所以

b_(12)=b_(21).
(9)

那么

a^(alphabeta)b_(alphabeta)=a^(11)b_(11)+a^(12)b_(12)+a^(21)b_(21)+a^(22)b_(22)
(10)
=0+a^(12)b_(12)-a^(12)b_(12)+0
(11)
=0.
(12)

一个对称的二阶-张量阶数 张量 A_(mn) 具有标量不变量

s_1=A_(11)+A_(22)+A_(33)
(13)
s_2=A_(22)A_(33)+A_(33)A_(11)+A_(11)A_(22)-A_(23)^2-A_(31)^2-A_(12)^2.
(14)

另请参阅

反对称张量, 张量

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参考文献

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco, CA: W. H. Freeman, p. 86, 1973.Wald, R. M. General Relativity. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

对称张量

引用为

Weisstein, Eric W. “对称张量。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SymmetricTensor.html

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