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置换张量

置换张量，也称为列维-奇维塔张量或秩为 3 的各向同性张量（Goldstein 1980，第 172 页），是一个赝张量，它在任意两个槽的互换下是反对称的。回顾置换符号的定义，以笛卡尔单位向量的标量三重积表示，

epsilon_(ijk)=x_i^^·(x_j^^xx_k^^)=[x_i^^,x_j^^,x_k^^],
(1)

赝张量是对任意基的推广，定义为

epsilon_(alphabeta...mu)=sqrt(|g|)[alpha,beta,...,mu]
(2)
epsilon^(alphabeta...mu)=([alpha,beta,...,mu])/(sqrt(|g|)),
(3)

其中

[alpha,beta,...,mu]={1 the arguments are an even permutation; -1 the arguments are an odd permutation; 0 two or more arguments are equal,
(4)

且 g=det(g_(alphabeta)), 其中 g_(alphabeta) 是 度量张量。 epsilon(x_1,...,x_n) 是 非零 当且仅当 向量 是 线性无关。

当被视为张量时，置换符号有时被称为列维-奇维塔张量。秩为 4 的置换张量 epsilon^(alphabetadeltagamma) 在广义相对论中很重要，其分量定义为

(epsilon)^(alphabetagammadelta)={+1 if alphabetagammadelta is an even permutation of 0123; -1 if alphabetagammadelta is an odd permutation of 0123; 0 otherwise
(5)

（Weinberg 1972，第 38 页）。秩为 4 的置换张量满足恒等式

epsilon_(alphabetagammadelta)=-epsilon^(alphabetagammadelta).
(6)

另请参阅

克罗内克 delta, 置换, 置换符号, 标量三重积

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参考文献

Chou, P. C. and Pagano, N. J. "The Alternating Tensor." §8.7 in 弹性：张量、并矢和工程方法。 New York: Dover, pp. 182-186, 1992.Goldstein, H. 经典力学，第二版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. 引力。 San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973.Weinberg, S. 引力与宇宙学：广义相对论原理与应用。 New York: Wiley, 1972.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

置换张量

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "Permutation Tensor." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PermutationTensor.html

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