散度

向量场的散度 vector field , 记作 或 (本文档中使用的符号), 由 surface integral 面积分的极限定义

(1)

其中面积分给出 在闭合的无限小边界曲面 上积分的值，该曲面包围着体积元 ，体积元的大小通过极限过程趋于零。因此，vector field 向量场的散度是一个 scalar field 标量场。如果 , 则该场被称为 divergenceless field 无散场。符号 俗称 “nabla” 或 “del”。

vector field 向量场散度的物理意义是“密度”离开给定空间区域的速率。因此，散度的定义自然而然地来自于注意到，在没有物质产生或破坏的情况下，空间区域内的密度只能通过流入或流出该区域来改变。通过测量穿过包围空间区域的表面的内容净通量，因此可以立即说出内部密度的变化情况。这个性质在物理学中是 fundamental 的，它被称为“连续性原理”。当以正式定理的形式陈述时，它被称为 divergence theorem 散度定理，也称为高斯定理。实际上，公式 (1) 中的定义实际上是 divergence theorem 散度定理的陈述。

例如，流体 mechanics 的连续性方程指出，流体每个无限小体积元中密度 降低的速率与流体微团从该体积元流出的质量通量成正比，符号表示为

(2)

其中 是流体速度的向量场。在流体密度恒定的常见情况下，这简化为简洁明了的陈述

(3)

这简单地说明，为了使密度在整个流体中保持恒定，流体微团不得在任何地方“聚集”，因此任何物理系统的流体微团速度的向量场必须是 divergenceless field 无散场。

散度在电磁理论中同样是 fundamental 的，它出现在四个麦克斯韦方程中的两个中，

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这里使用了 MKS 单位，其中 表示电场， 现在是电荷密度， 是一个比例常数，称为自由空间的介电常数， 是磁场。连同另外两个麦克斯韦方程，这些公式描述了几乎所有经典和相对论电磁学性质。

通过构建一个假想的无限小立方体盒子，该盒子沿坐标轴方向围绕空间的无限小区域定向，可以立即在 Cartesian coordinates 笛卡尔坐标系中写下向量场散度的公式。这个盒子有六个面，离开盒子的净“内容”因此只是盒子三组平行边的向量场值之差的总和。写成 , 因此立即得到

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这个公式也提供了采用符号 表示散度的动机。将 解释为 gradient 梯度算子 , 这个向量算子与原始向量场 的“dot product 点积”正是公式 (6)。

虽然这个导数在某种程度上似乎偏爱 Cartesian coordinates 笛卡尔坐标系，但一般定义完全不受所选坐标系的限制。实际上，定义

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在任意正交 curvilinear coordinates 曲线坐标系中，散度可以简单地表示为

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由 matrix 矩阵 表示的 unit vector 单位向量的线性变换的散度由以下简洁公式给出

(9)

其中 是 matrix trace 矩阵的迹， 表示转置。

散度的概念可以推广到 tensor fields 张量场，在张量场中，它是所谓的 covariant derivative 协变导数的缩并，写作

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