黎曼张量

黎曼张量（Schutz 1985） ，也称为黎曼-克里斯托费尔曲率张量（Weinberg 1972，第 133 页；Arfken 1985，第 123 页）或黎曼曲率张量（Misner等人1973，第 218 页），是一种在广义相对论中有用的四指标张量。其他重要的广义相对论张量，例如里奇曲率张量和标量曲率，可以用 来定义。

在某种意义上，黎曼张量是唯一可以从度量张量及其一阶和二阶导数构造出来的张量，

(1)

其中 是第一类克里斯托费尔符号，而 是逗号导数（Schmutzer 1968，第 108 页；Weinberg 1972）。在一维空间中，。在四维空间中，有 256 个分量。利用对称关系，

(2)

独立分量的数量减少到 36。使用条件

(3)

坐标的数量减少到 21。最后，使用

(4)

还剩下 20 个独立分量（Misner等人1973，第 220-221 页；Arfken 1985，第 123-124 页）。

一般来说， 维空间中独立分量的数量由下式给出

(5)

“四维棱锥数”，前几个值是 0、1、6、20、50、105、196、336、540、825、...（OEIS A002415）。可以从 和 构造的标量的数量是

(6)

（Weinberg 1972）。前几个值是 0、1、3、14、40、90、175、308、504、780、...（OEIS A050297）。

用雅可比张量 表示，

(7)

令

(8)

其中 内部的量是第二类克里斯托费尔符号。那么

(9)

分解为 维空间中最简单的形式，

(10)

这里， 是里奇曲率张量， 是标量曲率，而 是外尔张量。