旋度

一个向量场的旋度，记为 或 (本文档中使用的符号)，被定义为向量场，其大小等于每个点的最大“环量”，并且方向垂直于每个点的环量平面。更精确地说， 的大小是单位面积的环量的极限值。显式地写出，

(1)

其中右侧是在面积为 的无穷小区域周围的线积分，该区域通过极限过程收缩到零，并且 是该区域的单位法向量。如果 ，则该场被称为无旋场。符号 通常被称为 "nabla" 或 "del"。

向量场的旋度的物理意义是给定空间区域内容物的“旋转”或角动量的大小。它出现在流体力学和弹性理论中。它在电磁学理论中也Fundamental，出现在麦克斯韦方程组的两个方程中，

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这里使用了 MKS 单位制， 表示电场， 是磁场， 是一个比例常数，称为自由空间磁导率， 是电流密度， 是另一个比例常数，称为自由空间介电常数。与麦克斯韦方程组的另外两个方程一起，这些公式描述了几乎所有电磁学的经典和相对论性质。

在笛卡尔坐标系中，旋度定义为

(4)

这提供了采用符号 表示旋度的动机，因为将 解释为梯度算子 ，梯度算子与 的“叉积”由下式给出

(5)

这正是方程 (4)。旋度的一种稍微更优雅的公式由矩阵算符方程给出

(6)

(Abbott 2002)。

旋度可以使用下式类似地在任意正交曲线坐标系中定义

(7)

并定义

(8)

为

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旋度可以从向量场推广到张量场，如下所示

(11)

其中 是置换张量，";" 表示协变导数。