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各向同性张量

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一种张量，在所有旋转坐标系中具有相同的分量。所有 0 阶张量（标量）都是各向同性的，但没有 1 阶张量（向量）是各向同性的。唯一的 2 阶各向同性张量是克罗内克 delta，唯一的 3 阶各向同性张量是置换符号（Goldstein 1980, p. 172）。

0、1、2... 阶各向同性张量的数量分别为 1、0、1、1、3、6、15、36、91、232、... (OEIS A005043)。这些数字被称为 Motzkin 和数，由以下递推关系给出

a_n=(n-1)/(n+1)(2a_(n-1)+3a_(n-2))
(1)

其中 a(0)=1 和 a(1)=0。 的闭合形式由下式给出

a_n=-1/2(-3)^(n+1)(1/2; n+1)_2F_1(-n-1,1/2;1/2;-1/3)
(2)
=((-1)^n3^(n+1)sqrt(pi))/(4Gamma(n+2))_2F^~_1(1/2,-1-n;1/2-n;-1/3).
(3)

这些项具有生成函数

G(x)=1/(2x)(1-sqrt((1-3x)/(1+x)))
(4)
=sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(5)
=1+x^2+x^3+3x^4+6x^5+15x^6+....
(6)

从 5 阶开始，合系在限制各向同性张量的数量方面发挥作用。特别是，合系出现在 5、7、8 阶和所有更高阶。

另请参阅

克罗内克 Delta, 置换张量, 标量, 合系, 张量, 向量

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参考文献

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Isotropic Tensors." §3.03 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 87-89, 1988.Kearsley, E. A. and Fong, J. T. ""Linearly Independent Sets of Isotropic Cartesian Tensors of Ranks up to Eight." J. Res. Nat. Bureau Standards 79B, 49-58, 1975.Sloane, N. J. A. Sequence A005043/M2587 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith G. F. "On Isotropic Tensors and Rotation Tensors of Dimension 维度 m and Order 阶数 n." Tensor, N. S. 19, 79-88, 1968.

在 Wolfram|Alpha 中引用

各向同性张量

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "Isotropic Tensor." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IsotropicTensor.html

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