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等角共轭

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一个点的等角共轭是 Q 点，它是相对于点 P 的 等角线 的交点。具有 三线坐标 alpha:beta:gamma 的点的等角共轭 alpha^':beta^':gamma^' 是

(a^2alpha)^(-1):(b^2beta)^(-1):(c^2gamma)^(-1).
(1)

Vandeghen (1965) 将把点映射到其等角共轭的变换称为 塞瓦变换。等角和 等距 的乘积是 共线，它将 三角形 的边变换为自身 (Vandeghen 1965)。

等角横截线 有时被称为等角共轭 (Ehrmann 和 van Lamoen 2004)。

有四个点是等角自共轭的：三角形质心 G 和每个 外心点。下表列出了一些常见的中心及其等角共轭。

三角形中心等角共轭
格尔贡点 Ge纳格尔点 Na
内心 IX_(75)
纳格尔点 Na格尔贡点 Ge
垂心 H外接三角形的西梅迪安点 反补三角形 X_(69)
西梅迪安点 K第三布罗卡点 Omega^('')
第三布罗卡点 Omega^('')西梅迪安点 K
三角形质心 G三角形质心 G

一条 直线 的等角共轭 d 具有三线方程

lalpha+mbeta+ngamma=0
(2)

是一个 圆锥曲线，外接于 三角形 DeltaABC (Casey 1893, Vandeghen 1965)。无穷远线 的等角共轭具有三线方程

aalpha+bbeta+cgamma=0
(3)

是 施泰纳外接椭圆

(beta^'gamma^')/a+(gamma^'alpha^')/b+(alpha^'beta^')/c=0
(4)

(Vandeghen 1965)。

欧拉线 的等角共轭被称为 耶拉贝克双曲线 (Casey 1893, Vandeghen 1965)。

d 变换成的 圆锥曲线 类型取决于直线 d 是否与 施泰纳外接椭圆 E 相交。

1. 如果 d 不与 相交 E，则 等角变换 是一个 椭圆。

2. 如果 d 与 E 相切，则变换是一个 抛物线。

3. 如果 d 切割 E，则变换是一个 双曲线，如果该线穿过 垂心 的等角共轭，则它是一个 直角双曲线

(Casey 1893, Vandeghen 1965)。

另请参阅

塞瓦变换, 格尔贡点, 等距共轭, 等角线, 等角变换, 等角横截线, 耶拉贝克双曲线, 纳格尔点, 施泰纳外接椭圆

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参考文献

Casey, J. "Theory of Isogonal and Isotomic Points, and of Antiparallel and Symmedian Lines." Supp. Ch.§1 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, Co., pp. 165-173, 1888.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev. enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, Co., 1893.Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Ehrmann, J.-P. and van Lamoen, F. M. "A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem." Forum Geom. 4, 225-227, 2004. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200427index.html.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 157-159, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Sigur, S. "Where are the Conjugates?" Forum Geom. 5, 1-15, 2005. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200501index.html.Vandeghen, A. "Some Remarks on the Isogonal and Cevian Transforms. Alignments of Remarkable Points of a Triangle." Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

等角共轭

请引用为

Weisstein, Eric W. "等角共轭。" 来源：MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IsotomicConjugate.html

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