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外接圆锥曲线

外接圆锥曲线是穿过三角形顶点的圆锥曲线 (Kimberling 1998, p. 235)。每个外接圆锥曲线都有如下形式的三线方程

x/alpha+y/beta+z/gamma=0
(1)

其中 x, y, 和 z 是边长 a, b, 和 c 的函数，且 xyz!=0, 反之，每个外接圆锥曲线都有这样的方程。

外接圆锥曲线的中心由下式给出

x(-ax+by+cz):y(ax-by+cz):z(ax+by-cz)
(2)

(Kimberling 1998, p. 235)。

等角共轭将三角形的内部映射到自身。这种映射将直线转换为外接圆锥曲线。圆锥曲线的类型取决于直线 d 是否与外接圆 C^' 相交，

1. 如果 d 不与 C^' 相交，则等角变换为椭圆；

2. 如果 d 与 C^' 相切，则变换为抛物线；

3. 如果 d 与 C^' 相交，则变换为双曲线，如果该直线穿过外心，则为等轴双曲线

(Casey 1893, Vandeghen 1965)。

直线

xalpha+ybeta+zgamma=0
(3)

在外接圆锥曲线三角形的外接圆上相交于 0、1 或 2 个点，如果圆锥曲线是椭圆、抛物线或双曲线 (Kimberling 1998, p. 235)。

如果满足以下条件，则外接圆锥曲线为抛物线

x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-2yzbc-2zxca-2xyab=0
(4)

如果满足以下条件，则外接圆锥曲线为等轴双曲线

xcosA+ycosB+zcosC=0.
(5)

在后一种情况下，双曲线穿过垂心，且中心位于九点圆上 (Kimberling 1998, p. 236)，这个结果被称为Feuerbach 圆锥曲线定理 (Coolidge 1959, p. 198)。

下表总结了一些外接圆锥曲线。

外接圆锥曲线Kimberling中心
外接圆X_3外心 O
旁心六线椭圆X_3外心 O
Feuerbach 双曲线X_(11)Feuerbach 点 F
Jerabek 双曲线X_(125)Jerabek 双曲线的中心
Johnson 外接圆锥曲线X_5九点圆圆心
Kiepert 双曲线X_(115)Kiepert 双曲线的中心
MacBeath 外接圆锥曲线X_6等角中线点 K
Steiner 外接椭圆X_2三角形重心 G

另请参阅

外接圆, 外接双曲线, 圆锥曲线, de Longchamps 椭圆, Feuerbach 双曲线, Feuerbach 圆锥曲线定理, 内切圆锥曲线, 等角共轭点, Jerabek 双曲线, Johnson 外接圆锥曲线, Kiepert 双曲线, MacBeath 外接圆锥曲线, Steiner 外接椭圆

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参考文献

Brianchon, C.-J. and Poncelet, J.-V. "Recherches sur la détermination d'une hyperbole équilatère, au moyen de quatre conditions données." Ann. des Math. 11, 205-220, 1821.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev. enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1893.Coolidge, J. L. A Treatise on Algebraic Plane Curves. New York: Dover, p. 198, 1959.Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Eves, H.; Kimberling, C.; Lossers, O. P.; and Yff, P. "Problem E2990 and Solution." Amer. Math. Monthly 93, 132-133, 1983.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Vandeghen, A. "Some Remarks on the Isogonal and Cevian Transforms. Alignments of Remarkable Points of a Triangle." Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.

在 中被引用

外接圆锥曲线

引用为

Weisstein, Eric W. "外接圆锥曲线。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Circumconic.html

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