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除数函数

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DivisorFunction

除数函数 sigma_k(n) 对于整数 n 被定义为 k 次 次方 的和，其中 次方 是 n 的（正整数）除数，

sigma_k(n)=sum_(d|n)d^k.
(1)

它在 Wolfram 语言 中被实现为DivisorSigma[k, n].

符号 d(n) (Hardy and Wright 1979, p. 239), nu(n) (Ore 1988, p. 86) 和 tau(n) (Burton 1989, p. 128) 有时用于 sigma_0(n)，它给出 n 的除数数量。 令人惊讶的是，多项式 a^n-b^n 的因子个数也由 d(n) 给出。 sigma_0(n) 的值可以作为 1, 1, 1, ... 的逆 莫比乌斯变换 找到 (Sloane and Plouffe 1995, p. 22)。 Heath-Brown (1984) 证明了 sigma_0(n)=sigma_0(n+1) 无限多次成立。 具有增量最大除数数量的数字称为高度合成数。 函数 sigma_0(n) 满足恒等式

sigma_0(p^a)=a+1
(2)
sigma_0(p_1^(a_1)p_2^(a_2)...)=(a_1+1)(a_2+1)...,
(3)

其中 p_i 是不同的素数，p_1^(a_1)p_2^(a_2)... 是数字 n 的 素因子分解。

除数函数 sigma_0(n) 是奇数 当且仅当 n 是一个 平方数。

给出 n 的除数和的函数 sigma_1(n) 通常在没有下标的情况下书写，即 sigma(n)。

作为计算 sigma_k(n) 的说明性示例，考虑数字 140，它的 除数 有 d_i=1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 和 140，总共有 N=12 个除数。 因此，

sigma_0(140)=N=12
(4)
sigma_1(140)=sum_(i=1)^(N)d_i=336
(5)
sigma_2(140)=sum_(i=1)^(N)d_i^2=27300
(6)
sigma_3(140)=sum_(i=1)^(N)d_i^3=3164112.
(7)

下表总结了 sigma_k(n) 对于小的 k 和 n=1, 2, ... 的前几个值。

kOEISsigma_k(n) 对于 n=1, 2, ...
0A0000051, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, ...
1A0002031, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, ...
2A0011571, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, ...
3A0011581, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, ...

n 的除数之和，不包括 n 本身（即 n 的 真因子）被称为 限制除数函数，记为 s(n)。 前几个值是 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, ... (OEIS A001065)。

除数 sigma_1(N) 的和可以如下找到。 设 N=ab，其中 a!=b 且 (a,b)=1。 对于 N 的任何除数 d，d=a_ib_i，其中 a_i 是 a 的除数，b_i 是 b 的除数。 a 的除数是 1, a_1, a_2, ..., 和 a。 b 的除数是 1, b_1, b_2, ..., b。 除数之和是

sigma_1(a)=1+a_1+a_2+...+a
(8)
sigma_1(b)=1+b_1+b_2+...+b.
(9)

对于给定的 a_i，

a_i(1+b_1+b_2+...+b)=a_isigma_1(b).
(10)

对所有 a_i 求和，

(1+a_1+a_2+...+a)sigma_1(b)=sigma_1(a)sigma_1(b),
(11)

因此 sigma_1(N)=sigma_1(ab)=sigma_1(a)sigma_1(b)。 将 a 和 b 分解为素因子，

sigma_1(N)=sigma_1(p_1^(alpha_1))sigma_1(p_2^(alpha_2))...sigma_1(p_r^(alpha_r)).
(12)

对于素数 幂 p_i^(alpha_i)，除数是 1, p_i, p_i^2, ..., p_i^(alpha_i)，因此

sigma_1(p_i^(alpha_i))=1+p_i+p_i^2+...+p_i^(alpha_i)=(p_i^(alpha_i+1)-1)/(p_i-1).
(13)

因此，对于 N，

sigma_1(N)=product_(i=1)^r(p_i^(alpha_i+1)-1)/(p_i-1)
(14)

(Berndt 1985)。

对于 N 是素数的特殊情况，(14) 简化为

sigma_1(p)=(p^2-1)/(p-1)=p+1.
(15)

类似地，对于 N 是 2 的 幂，(14) 简化为

sigma_1(2^alpha)=(2^(alpha+1)-1)/(2-1)=2^(alpha+1)-1.
(16)

恒等式 (◇) 和 (◇) 可以推广到

sigma_k(N)=sigma_k(p_1^(alpha_1))sigma_k(p_2^(alpha_2))...sigma_k(p_r^(alpha_r))
(17)
=product_(i=1)^(r)(p_i^((alpha_i+1)k)-1)/(p_i^k-1).
(18)

涉及除数函数的和由下式给出

sum_(n=1)^infty(sigma_0(n))/(n^s)=zeta^2(s)
(19)

对于 s>1，

sum_(n=1)^infty(sigma_1(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-1)
(20)

对于 s>2，更一般地，

sum_(n=1)^infty(sigma_k(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-k)
(21)

对于 s>1 和 k>=0 (Hardy 和 Wright 1979, p. 250)。

sigma_0(n) 的生成函数由 兰伯特级数 给出

L(x)=sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(1-x^n)
(22)
=(psi_x(1)+ln(1-x))/(lnx)
(23)
=sigma_0(1)x+sigma_0(2)x^2+...
(24)
=x+2x^2+2x^3+3x^4+2x^5+...,
(25)

其中 phi_q(x) 是一个 q-多伽玛函数。

sigma_1(n) 函数具有级数展开式

sigma_1(n)=1/6npi^2[(1+((-1)^n)/(2^2))+(2cos(2/3npi))/(3^2)+(2cos(1/2npi))/(4^2)+(2[cos(2/5npi)+cos(4/5npi)])/(5^2)+...]
(26)

(Hardy 1999)。 拉马努金给出了美丽的公式

sum_(n=1)^infty(sigma_a(n)sigma_b(n))/(n^s)=(zeta(s)zeta(s-a)zeta(s-b)zeta(s-a-b))/(zeta(2s-a-b)),
(27)

其中 zeta(n) 是 zeta 函数，R[s],R[s-a],R[s-b],R[s-a-b]>1 (Wilson 1923)，Ingham 在 素数定理 的证明中使用了该公式 (Hardy 1999, pp. 59-60)。 这给出了特殊情况

sum_(n=1)^infty([d(n)]^2)/(n^s)=([zeta(s)]^4)/(zeta(2s))
(28)

(Hardy 1999, p. 59)。

格朗沃尔定理指出

lim_(n->infty)^_(sigma_1(n))/(nlnlnn)=e^gamma,
(29)

其中 gamma 是 欧拉-马斯切罗尼常数 (Hardy 和 Wright 1979, p. 266; Robin 1984)。 这可以写成显式不等式

(sigma_1(n))/(nlnlnn)<=e^gamma+c/((lnlnn)^2),
(30)

其中 gamma 是 欧拉-马斯切罗尼常数，并且当 n=12 时等式成立，给出

c=7/3(lnln12)-e^gamma(lnln12)^2
(31)
=0.648213649...
(32)

(Robin 1984, 定理 2)。 事实上，如果 黎曼猜想 成立，则可以删除常数项，因为 黎曼猜想 等价于以下陈述

(sigma_1(n))/(nlnlnn)<e^gamma
(33)

对于所有 n>=5041 (Robin 1984, 定理 1)。

sigma_1(n) 是 2 的幂 当且仅当 n=1 或 n 是不同梅森素数的乘积 (Sierpiński 1958/59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999)。 前几个这样的 n 是 1, 3, 7, 21, 31, 93, 127, 217, 381, 651, 889, 2667, ... (OEIS A046528)，而这些对应的 2 的幂是 0, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 14, ... (OEIS A048947)。

使用模形式理论推导出的奇特恒等式由下式给出

sigma_3(n)-sigma_7(n)+120sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(k)sigma_3(n-k)=0
(34)
-10sigma_3(n)+21sigma_5(n)-11sigma_9(n)+5040sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(k)sigma_5(n-k)=0
(35)

(Apostol 1997, p. 140)，以及

21sigma_5(n)-20sigma_7(n)-sigma_(13)(n)+10080sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_7(k)=0
(36)
-10sigma_3(n)+11sigma_9(n)-sigma_(13)(n)+2640sum_(k=1)^(n-1)sigma_3(n-k)sigma_9(k)=0
(37)
-21sigma_5(n)+22sigma_9(n)-sigma_(13)(n)-2904sum_(k=1)^(n-1)sigma_9(n-k)sigma_9(k) +504sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_(13)(k)=0
(38)

(M. Trott，私人通信)。

除数函数 sigma_1(n) （实际上，对于 k>=1 的 sigma_k(n)）是 奇数 当且仅当 n 是 平方数 或两倍的 平方数。 除数函数 sigma_1(n) 满足同余

nsigma_1(n)=2 (mod phi(n)),
(39)

对于所有素数，且对于除 4、6 和 22 之外的任何合数都不成立 (Subbarao 1974)。

当 sigma_1(n) 本身是素数时，除数的个数 d(n) 是素数 (Honsberger 1991)。 对于素数 p，sigma_1(p^a) 的因式分解由 Sorli 给出。

DivisorFunctionSummatory

1838 年，狄利克雷表明，从 1 到 n 的所有数字的平均除数个数渐近于

(sum_(k=1)^(n)d(k))/n∼lnn+2gamma-1
(40)

(Conway 和 Guy 1996; Hardy 1999, p. 55; Havil 2003, pp. 112-113)，如上图所示，其中细实线绘制实际值，粗虚线绘制渐近函数。 这与 狄利克雷除数问题 相关，该问题旨在找到 theta 中的“最佳”系数

sum_(k=1)^nd(k)=nlnn+(2gamma-1)n+O(n^theta)
(41)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 264)。

对于 a>1 的 求和函数 sigma_a 是

sum_(k=1)^nsigma_a(k)=(zeta(a+1))/(a+1)n^(a+1)+O(n^a).
(42)

对于 a=1，

sum_(k=1)^nsigma_1(k)=(pi^2)/(12)n^2+O(nlnn)
(43)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 266)。

除数函数也可以推广到 高斯整数。 定义需要一些谨慎，因为原则上，对于每个除数选择四个相伴数中的哪一个存在歧义。 Spira (1961) 通过将 z 分解为不同高斯素数的幂的乘积来定义复数 z 的除数之和，

z=epsilonproductp_i^(k_i),
(44)

其中 epsilon 是一个单位，每个 p_i 位于复平面的第一象限，然后写作

sigma_1(z)=product(p_i^(k_i+1)-1)/(p_i-1).
(45)

这使得 sigma 成为乘法函数，并且也给出 |sigma_1(z)|>=z。 此扩展在 Wolfram 语言 中实现为DivisorSigma[1, z,GaussianIntegers -> True]。 下表给出了 sigma_1(a+ib) 对于 a 和 b 的小非负值。

a\b0123456
112+i2+2i5+5i2+4i6+8i2+6i
22+3i3+i5i3+3i-2+10i3+5i-5+15i
342+6i4+2i8+4i6+5i9+7i8+8i
4-4+5i5+i3+11i-1+6i-8+i5+5i-3+15i
54+8i3+9i6+2i10i6+4i20i6+6i
68+12i7+i-10+10i12+4i2+16i7+5i20i

另请参阅

狄利克雷除数问题, 不同素因子, 除数, 除数积, 偶除数函数, 因子, 费马除数问题, 最大素因子, 格朗沃尔定理, 高度合成数, 最小素因子, 多完全数, 奇除数函数, 奥尔猜想, 完全数, 素因子, 可重构数, 限制除数函数, 罗宾定理, 西尔弗曼常数, 亲和数链, 平方和函数, 超完全数, tau 函数, 欧拉函数, 欧拉函数价函数, 孪生峰, 酉除数函数 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/DivisorSigma/

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参考文献

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除数函数

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "除数函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DivisorFunction.html

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