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亲和数

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亲和数是指导致周期性真因子序列的数字，其中真因子序列是通过重复应用限制除数函数获得的数字序列

s(n)=sigma(n)-n
(1)

到 n，而 sigma(n) 是通常的除数函数。

如果真因子周期的周期为 1，则该数字称为完全数。 如果周期为 2，则这两个数字称为亲和数对。 一般来说，如果周期为 t>=3，则该数字称为 t 阶亲和数 t。 例如，1264460 是一个 4 阶亲和数，因为它的真因子序列为 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....

在 1970 年之前，只知道两组亲和数，即 Poulet（1918 年）发现的 5 阶和 28 阶集合。 1970 年，Cohen 发现了九组 4 阶亲和数。

前几个亲和数是 12496、14316、1264460、2115324、2784580、4938136、... (OEIS A003416)，它们的阶数分别为 5、28、4、4、4、4、... (OEIS A052470)。 下表总结了已知亲和循环的最小成员以及已知的此类循环的数量 (Moews)。 截至 2009 年 2 月，已知共有 152 个亲和循环（不包括完全数）(Pedersen)。

tOEIS#t-阶亲和数
4A0906151421264460, 2115324, 2784580, 4938136, 7169104, 18048976, 18656380, ...
5112496
6A119478521548919483, 90632826380, 1771417411016, 3524434872392, 4773123705616
821095447416, 1276254780
91805984760
28114316

Y. Kohmoto 考虑了根据广义真因子序列定义的亲和数的推广

a(n)=(sigma(a(n-1)))/m.
(2)

多完全数是此映射的不动点，因为如果 a(n)=a(n-1)，则

ma(n)=sigma(a(n)),
(3)

这就是 m-多完全数的定义。 如果序列 a(n) 在 k>1 项后变为循环，则它被称为 1/m-阶亲和数 k。

如果 M_m 和 M_n 是不同的梅森素数，则

1/2sigma(2^(m-1)M_n)=1/2(2^m-1)2^n
(4)
=2^(n-1)M_m
(5)
1/2sigma(2^(n-1)M_m)=2^(m-1)M_n,
(6)

因此 2^(m-1)M_n 和 2^(n-1)M_m 是 2 阶 1/2 亲和数。

下表总结了 Kohmoto 发现的阶数 k 的广义 1/m-真因子序列的最小成员。

mk起始数字
3214913024
422096640, 422688000
4123396556800

另请参阅

真因子序列, 卡塔兰真因子序列猜想, 完全数, 酉亲和数

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参考文献

Borho, W. "Über die Fixpunkte der k-fach iterierten Teilerersummenfunktion." Mitt. Math. Gesellsch. Hamburg 9, 34-48, 1969.Cohen, H. "On Amicable and Sociable Numbers." Math. Comput. 24, 423-429, 1970.Cohen, G. L. and te Riele, H. J. J. "Iterating the Sum-of-Divisors Function." Amsterdam, Netherlands: Centrum voor Wiskunde en Informatica Report NM-R9525 1995.Creyaufmüller, W. "Aliquot Sequences." http://www.aliquot.de/aliquote.htm.Devitt, J. S.; Guy, R. K.; and Selfridge, J. L. Third Report on Aliquot Sequences, Congr. Numer. XVIII, Proc. 6th Manitoba Conf. Numerical Math, pp. 177-204, 1976.Erdős, P.; Granville, A.; Pomerance, C.; and Spiro, C. "On the Normal Behavior of Iterates of Some Arithmetical Functions." Analytic Number Theory, Proc. Conf. in Honor of P. T. Bateman, Allerton Park, 1989. Boston: Birkhäuser, pp. 165-204, 1990.Flammenkamp, A. "New Sociable Numbers." Math. Comput. 56, 871-873, 1991.Gardner, M. "Perfect, Amicable, Sociable." Ch. 12 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 160-171, 1978.Guy, R. K. "Aliquot Cycles or Sociable Numbers." §B7 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 62-63, 1994.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 145-146, 1979.Moews, D. "A List of Aliquot Cycles of Length Greater than 2." Rev. Jul. 20, 2005. http://djm.cc/sociable.txt.Moews, D. "Sociable Numbers." http://djm.cc/amicable.html#sociable.Moews, D. and Moews, P. C. "A Search for Aliquot Cycles Below 10^(10)." Math. Comput. 57, 849-855, 1991.Moews, D. and Moews, P. C. "A Search for Aliquot Cycles and Amicable Pairs." Math. Comput. 61, 935-938, 1993.Pedersen, J. A. M. "Tables of Aliquot Cycles." http://amicable.homepage.dk/tables.htm.Poulet, P. Question 4865. L'interméd. des Math. 25, 100-101, 1918.Root, S. Item 61 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 23, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item61.Sloane, N. J. A. Sequences A003416, A052470, A090615, and A119478 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."te Riele, H. J. J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences." In Computational Methods in Number Theory, Part I. (Ed. H. W. Lenstra Jr. and R. Tijdeman). Amsterdam, Netherlands: Mathematisch Centrum, pp. 141-157, 1982.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

亲和数

引用为

Weisstein, Eric W. "亲和数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SociableNumbers.html

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