素因子

素因子是一个因子，它也是素数，即它本身不能被分解。一般来说，素因数分解的形式为

(1)

其中 是素因子， 是它们的阶数。素因数分解可以在 Wolfram 语言 中使用命令FactorInteger[n] 执行，该命令返回一个 对的列表。

下表给出了正整数 的素因数分解。

1	1	11	11	21		31	31	41	41
2	2	12		22		32		42
3	3	13	13	23	23	33		43	43
4		14		24		34		44
5	5	15		25		35		45
6		16		26		36		46
7	7	17	17	27		37	37	47	47
8		18		28		38		48
9		19	19	29	29	39		49
10		20		30		40		50

一个数 的不必不同的素因子数记为 (Hardy 和 Wright 1979, p. 354) 或 。Conway et al. (2008) 创造了术语“ 的多素性”来描述 ，其中半素数然后被称为双素数，具有三个因子的数项称为三素数，等等。素因子的数量由上面的素因数分解给出：

(2)

对于 , 2, ... 的前几个值是 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, ... (OEIS A001222)。 在上面绘制，直到 （左）和 （右）。函数 在 Wolfram 语言 中实现为PrimeOmega[n],

由 定义的函数被称为刘维尔函数。

一个数 的不同素因子数记为 (Hardy 和 Wright 1979, p. 354)，有时也记为 或 ，并在 Wolfram 语言 中实现为PrimeNu[n].

例如， 只有一个不同的素因子，所以 ，但总共有两个素因子，所以 。

的渐近级数由下式给出

(3)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中 是一个与 梅尔滕斯常数 相关的常数， 是 斯蒂尔杰斯常数。此外，方差由下式给出

(4)

其中

			(5)
			(6)

(OEIS A091589)，以及

(7)

(OEIS A086242; Finch 2003) 是一个收敛的素数和。系数 和 由以下和给出

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)

(Finch 2003)。

类似地，如果 是在 1 和 之间随机选择的，那么概率

(17)

趋近于

(18)

当 时 (Knuth 1998, p. 384)。此外，对于 ， 的平均值 趋近于 (Erdős 和 Kac 1940; Hardy 和 Wright 1979; Knuth 1998, p. 384)

的平均阶数为

(19)

(Hardy 1999, p. 51)。更精确地说，

(20)

对于适当的常数 和 (Hardy 和 Ramanujan 1917; Hardy 和 Wright 1979, p. 355; Hardy 1999, p. 57)，其中 是渐近符号。