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高度合成数

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高度合成数是指这样的数，其除数函数 d(n)=sigma_0(n) (即，n 的除数个数) 的值大于所有更小的 n 的除数函数值。超丰富数 与高度合成数密切相关，并且前 19 个超丰富数和高度合成数是相同的。

存在无限个高度合成数，前几个是 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, ... (OEIS A002182)。对应的除数个数是 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, ... (OEIS A002183)。拉马努金 (Ramanujan) (1915) 列出了前 102 个高度合成数，直到 6746328388800，但遗漏了 293318625600。Robin (1983) 给出了前 5000 个高度合成数，Nicholas (1988) 给出了全面的综述。Flammenkamp 给出了前 779674 个高度合成数的列表。

如果

N=2^(a_2)3^(a_3)...p^(a_p)
(1)

是高度合成数的素因数分解，则

1. 素数 2, 3, ..., p 构成一个连续素数序列，

2. 指数是非递增的，因此 a_2>=a_3>=...>=a_p，并且

3. 最后一个指数 a_p 始终为 1，除了两种情况 N=4=2^2 和 N=36=2^2·3^2，在这些情况下为 2。

设 Q(x) 为小于等于 <=x 的高度合成数的数量。拉马努金 (Ramanujan) (1915) 证明了

lim_(x->infty)(Q(x))/(lnx)=infty.
(2)

Alaoglu 和 Erdős (1944) 证明存在一个常数 c_1>0 使得

Q(x)>=(lnx)^(1+c_1)
(3)

Nicholas 证明存在一个常数 c_2>0 使得

Q(x)<<(lnx)^(c_2).
(4)

另请参阅

盈数, 约数, 除数函数, 高度互补商数, 光滑数, 光滑性, 光滑数, 超丰富数, 优越高度合成数

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参考文献

Alaoglu, L. and Erdős, P. "关于高度合成数和相似数。" Trans. Amer. Math. Soc. 56, 448-469, 1944.Andree, R. V. "拉马努金的高度合成数。" Abacus 3, 61-62, 1986.Berndt, B. C. 拉马努金的笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, p. 53, 1994.Dickson, L. E. 数论史，第一卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 323, 2005.Flammenkamp, A. "高度合成数。" http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html.Hoffman, P. 那个只爱数字的人：保罗·埃尔德什的故事和对数学真理的探索。 New York: Hyperion, pp. 88-91, 1998.Honsberger, R. 数学珍宝 I。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 112, 1973.Honsberger, R. "拉马努金的高度合成数导论。" Ch. 14 in 数学珍宝 III。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 193-207, 1985.Kanigel, R. 知晓无限的人：天才拉马努金的一生。 New York: Washington Square Press, p. 232, 1991.Nicholas, J.-L. "关于高度合成数。" In 拉马努金重访：伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校百年会议论文集，1987 年 6 月 1-5 日 (Ed. G. E. Andrews, B. C. Berndt, and R. A. Rankin). Boston, MA: Academic Press, pp. 215-244, 1988.Ramanujan, S. "高度合成数。" Proc. London Math. Soc. 14, 347-409, 1915.Ramanujan, S. 斯里尼瓦萨·拉马努金论文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Robin, G. "数论问题优化的方法。" RAIRO Inform. Théor. 17, 239-247, 1983.Séroul, R. "高度合成数。" §8.14 in 数学家编程。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 208-213, 2000.Siano, D. "高度合成数：我们如何计算它们？" http://www.eclipse.net/~dimona/juliannum.html.Siano, D. B. and Siano, J. D. "生成高度合成数的算法。" http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/julianmanuscript3.pdf. October 7, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A002182/M1025 and A002183/M0546 in "整数数列在线百科全书"。Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 New York: Penguin Books, p. 128, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

高度合成数

请引用为

Weisstein, Eric W. "高度合成数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HighlyCompositeNumber.html

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